Mathematik zum Wochenende – Lösungen

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Die Aufgabe kam von Catriona Agg.

1. Meine erste Eingebung war diese:

   

   Wegen MP ⊥ BC (Radius und Tangente) ist △ABM ≅ △PBM (nach SSW) und damit PB = AB = 1.

   △MPC ist gleichschenklig-rechtwinklig (Winkel 45° und 90°). Folglich r = MP = CP = BC − PB = √2 − 1.

   Das meinte auch Tabellenkalk. Auch @ottogal (leicht abgewandelt) und @Matthias Apsel hatten diese Lösung eingesandt.

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2. Dann hatte ich gespiegelt:

   

   MP ⊥ BC wie gehabt. MPCQ ist ein Rechteck, wegen der Symmetrie ein Quadrat. Damit ist MC = r √2.

   (Die Spiegelung braucht man gar nicht; dasselbe ergibt sich auch aus dem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck.)

   1 = AC = AM + MC = r + r √2
   r = 1/(1 + √2) = √2 − 1

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3. Dann hab ich in der Wikipedia diese Formel gefunden: Inkreisradius r = 2A / u

   

   r = 2A / u
   r = 2 / (2√2 + 2) = √2 − 1

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4. @Matthias Apsel holte Fundstücke hervor, die ich noch gar nicht kannte:

   

   Der Satz von Euler besagt über die Entfernung d der Mittelpunkte von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks: d² = R(R − 2r)

   Mit d = r und R = 1 erhält man r² = 1 − 2r; r = √2 − 1

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5. Und noch eins:

   

   Der Satz von Carnot besagt, dass die Summe der vorzeichenbehafteten Abstände des Umkreismittelpunktes von den Dreiecksseiten gleich der Summe von Inkreisradius und Umkreisradius ist.

   ½√2 + ½√2 + 0 = R + r, das heißt √2 = 1 + r; r = √2 − 1

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6. Und dann holte er noch Winkelfunktionen hervor:

   

   Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, d.h. ∡ABM = 22.5°.

   tan 22.5° = AM / AB = r / 1. In irgendeiner Sammlung findet man dann auch tan 22.5° = √2 − 1

   Das würde ich aber nicht zur Allgemeinbildung zählen. Man kann das aber aus tan 2ϕ = 2 tan ϕ / (1 − tan²ϕ) herleiten: 1 = 2r / (1 − r²) hat als Lösung r = √2 − 1

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7. Die letzte Lösung hab ich (leicht abgewandelt) von Twitter. Schauen wir nochmal auf die Skizze:

   

   Die Fläche von △ABC beträgt ½. Sie setzt sich zusammen aus zwei Dreiecken der Fläche ½r und einem Dreieck der Fläche ½r² (siehe 1.)

   r + ½r² = ½; r = √2 − 1

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Die schönste Lösung gewinnt.

Schönheit liegt im Auge des Betrachters. Wollen wir abstimmen?

😷 LLAP