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Mathematik zum Jahresanfang
Gunnar Bittersmann
Mathematik zum Jahresanfang
Gunnar Bittersmann
Matthias Apsel
Rolf B
TabellenkalkZum Übergang aus dem Feiertagsmodus was nicht so Schweres:
Wie groß ist der Anteil der schraffierten Fläche an der Fläche des großen Kreises?
Nachtrag: Die kleinen Kreise haben dieselben Radien. (Und die großen Halbkreise natürlich auch.)
😷 LLAP
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“When I was 5 years old, my mother always told me that happiness was the key to life. When I went to school, they asked me what I wanted to be when I grew up. I wrote down ‘happy.’ They told me I didn’t understand the assignment, and I told them they didn’t understand life.” —John Lennon
“When I was 5 years old, my mother always told me that happiness was the key to life. When I went to school, they asked me what I wanted to be when I grew up. I wrote down ‘happy.’ They told me I didn’t understand the assignment, and I told them they didn’t understand life.” —John Lennon
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Hallo Gunnar Bittersmann,
Nur mal nachgefragt? Gibt es weitere Bedingungen? Z. B. dass die kleinen Kreise denselben Radius haben sollen (vielleicht haben sie den ja ganz automagisch).
Bis demnächst
Matthias--
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@@Matthias Apsel
Nur mal nachgefragt? Gibt es weitere Bedingungen? Z. B. dass die kleinen Kreise denselben Radius haben sollen
Ja, sollen sie.
😷 LLAP
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“When I was 5 years old, my mother always told me that happiness was the key to life. When I went to school, they asked me what I wanted to be when I grew up. I wrote down ‘happy.’ They told me I didn’t understand the assignment, and I told them they didn’t understand life.” —John Lennon
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Hi there,
Zum Übergang aus dem Feiertagsmodus was nicht so Schweres:
Wie groß ist der Anteil der schraffierten Fläche an der Fläche des großen Kreises?
Auch wenn das jetzt maximal unmathematisch und in gleichem unmatehmatischen Sinne durch nichts begründet ist sag' ich ganz spontan und intuitiv: 50%...😉
(wenn ich es begründen müßte dann kommt mir die Geschichte so vor, das sich da aus den extrem-möglichen Werten von Länge resp. Breite des eingeschriebenen Rechtecks ergibt)...
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Hallo klawischnigg,
ich bin gar nicht mal sicher, dass die Zeichnung viel Variation - oder überhaupt Variation - zulässt. Macht man die kleinen Kreise kleiner, werden die Radien der Halbkreise schnell so groß, dass sie sich überlappen.
Aber ich müsste es erstmal konstruieren, um dazu mehr sagen zu können...
Rolf
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sumpsi - posui - obstruxi -
@@klawischnigg
Auch wenn das jetzt maximal unmathematisch und in gleichem unmatehmatischen Sinne durch nichts begründet ist sag' ich ganz spontan und intuitiv: 50%...😉
Als Schätzung nicht schlecht. Aber doch etwas daneben.
😷 LLAP
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“When I was 5 years old, my mother always told me that happiness was the key to life. When I went to school, they asked me what I wanted to be when I grew up. I wrote down ‘happy.’ They told me I didn’t understand the assignment, and I told them they didn’t understand life.” —John Lennon-
@@klawischnigg
Auch wenn das jetzt maximal unmathematisch und in gleichem unmatehmatischen Sinne durch nichts begründet ist sag' ich ganz spontan und intuitiv: 50%...😉
Als Schätzung nicht schlecht. Aber doch etwas daneben.
Meine Rede. Spontanität hat in der Mathematik nichts verloren...😉
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@@Gunnar Bittersmann
Auch wenn das jetzt maximal unmathematisch und in gleichem unmatehmatischen Sinne durch nichts begründet ist sag' ich ganz spontan und intuitiv: 50%...😉
Als Schätzung nicht schlecht. Aber doch etwas daneben.
„Etwas“ heißt; weniger als 5 Prozentpunkte.
Wer also was außerhalb von 45–55% raushat, rechnet gleich nochmal. 😏
😷 LLAP
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“When I was 5 years old, my mother always told me that happiness was the key to life. When I went to school, they asked me what I wanted to be when I grew up. I wrote down ‘happy.’ They told me I didn’t understand the assignment, and I told them they didn’t understand life.” —John Lennon
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Lieber Gunnar,
Nachfrage: Ist das Verhältnis der rosa Radien einigermaßen egal (Halbkreise müssen nur größeren Radius haben)?
Liebe Grüße
Felix Riesterer
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@@Felix Riesterer
Nachfrage: Ist das Verhältnis der rosa Radien einigermaßen egal (Halbkreise müssen nur größeren Radius haben)?
?? Verhältnis der rosa Radien?
Wenn du das Verhältnis der Radien von Halbkreisen und kleinen Kreisen meinst: das herauszufinden ist Teil der Aufgabe.
😷 LLAP
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“When I was 5 years old, my mother always told me that happiness was the key to life. When I went to school, they asked me what I wanted to be when I grew up. I wrote down ‘happy.’ They told me I didn’t understand the assignment, and I told them they didn’t understand life.” —John Lennon-
Lieber Gunnar,
Wenn du das Verhältnis der Radien von Halbkreisen und kleinen Kreisen meinst:
ja, das meinte ich.
das herauszufinden ist Teil der Aufgabe.
Meinst Du damit, dass ich herausfinden muss ob das Verhältnis ein ganz bestimmtes (und wenn ja welches) sein muss, oder ob es da eine Bandbreite an Möglichkeiten gibt, die wiederum am Ende "herausgekürzt" wird?
Liebe Grüße
Felix Riesterer
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@@Felix Riesterer
das herauszufinden ist Teil der Aufgabe.
Meinst Du damit, dass ich herausfinden muss ob das Verhältnis ein ganz bestimmtes (und wenn ja welches) sein muss, oder ob es da eine Bandbreite an Möglichkeiten gibt, die wiederum am Ende "herausgekürzt" wird?
Ja, ich meine damit, dass du herausfinden musst, ob das Verhältnis ein ganz bestimmtes (und wenn ja welches) sein muss, oder ob es da eine Bandbreite an Möglichkeiten gibt, die wiederum am Ende „herausgekürzt“ wird. 😜
😷 LLAP
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“When I was 5 years old, my mother always told me that happiness was the key to life. When I went to school, they asked me what I wanted to be when I grew up. I wrote down ‘happy.’ They told me I didn’t understand the assignment, and I told them they didn’t understand life.” —John Lennon
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Hallo,
Nachtrag
Ich habe mein Ergebnis eingereicht, in der Annahme, dass die sichtbaren Kontakte keine Zufälle sind. Also dass die Halbkreise den mittleren Kreis berühren und auch das Rechteck zwei Berührpunkte mit den 2 kleinen Kreisen hat.
Gruß
Kalk -
Hallo Gunnar Bittersmann,
Wie groß ist der Anteil der schraffierten Fläche an der Fläche des großen Kreises?
Nachtrag: Die kleinen Kreise haben dieselben Radien. (Und die großen Halbkreise natürlich auch.)
Weil der Gunnar offensichtlich diesen Thread vergessen hat, poste ich jetzt mal meine Lösung.
Der Durchmesser des Umkreises des Rechtecks ist D, das Rechteck hat die Abmessungen a und b, der Durchmesser der kleinsten Kreise ist_d_. Dann gilt:
a² + b² = D² (I)
a = D - 2d (II)
b = a + d (III)Aus (II) und (III) folgt:
D = 2b - a (IV)
Eingesetzt in (I) ergibt sich:
0 = 3b² + 4ab = b (3b + 4a)
Wegen b > 0 ist das Verhältnis der Rechteckseiten 3:4, also etwa 3 bzw. 4, D ist dann 5 (da ham wers wieder, das berühmte 3-4-5-Dreieck) und d = 1.
Die Quadrate der Durchmesser der gefärbten Kreise ergeben sich zu 12, das Quadrat des großen Durchmessers ist 25. Das gesuchte Verhältnis ist 12:25.
Weil ich den Text aus einer PM kopiert habe, verzichte ich jetzt auf die nachträgliche Schrägstellung der Variablen.
Bis demnächst
Matthias--
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Hallo Matthias,
muss0 = 3b² + 4ab = b (3b + 4a)
nicht
0 = 3b² - 4ab = b (3b - 4a)
heißen?-
Hallo ottogal,
seh ich auch so. Dann kann man auch durch b dividieren und bekommt a/b=3/4 raus, andernfalls wäre das Verhältnis der Seiten negativ. Brrrr.
Ich habe nicht mit den Durchmessern, sondern mit den Radien gerechnet. Und zwar mit k für den kleinen Kreis, h für den Halbkreis und r für den großen Kreis.
Man sieht in der Zeichnung dann zum einen h+2k=r (1), und man sieht auch, dass die oberen Ecken des Rechtecks die y-Koordinate h+k haben. Und weil die Ecken den Abstand r vom Kreismittelpunkt haben, gilt dann h²+(h+k)²=r² (2).
Ich setze oBdA r=1, forme (1) in k=1-2k um und setze das in (2) ein. Mit etwas Umformen ergibt sich daraus 5k²-6k+1=0.
Mitternachtsformel hilf! Sie liefert zwei Lösungen für k, nämlich 1/5 und 1. Davon ist k=1 eine Scheinlösung, weil der kleine Kreis dann genauso groß wäre wie der große Kreis und die Halbkreise negative Radien hätten.
Es bleibt also k=1/5 und k=3/5. Die beiden Halbkreise setze ich zu einem Vollkreis zusammen und bekomme 9 mal π/25. Die drei kleinen Kreise liefern 3 mal π/25, macht 12 mal π/25. Der große Kreis hat die Fläche πr², also 25 mal π/25, und damit komme ich dann auch auf 12/25 als Verhältnis.
Rolf
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sumpsi - posui - obstruxi
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@@Matthias Apsel
Weil der Gunnar offensichtlich diesen Thread vergessen hat, poste ich jetzt mal meine Lösung.
Stimmt, da war ja noch was. Meine Lösung war so ähnlich. Nur dass der Radius des großen Kreises o.B.d.A. 1 ist und nicht als Variable auftaucht.
Radius der kleinen Kreise sei r, Radius der Halbkreise R.
Entlang der x-Achse sehen wir R + 2r = 1; r = ½ − ½R.
Der Punkt P muss die Kreisgleichung erfüllen: 1 = R² + (R + r)² = R² + (½R + ½)².
Das ergibt die quadratische Gleichung 0 = R² + ⅖R − ⅗, Lösung R = ⅗ (negative Lösung entfällt); r = ⅕.
Das gesuchte Verhältnis ist (3r² + R²) : 1 = ¹²⁄₂₅.
😷 LLAP
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“When I was 5 years old, my mother always told me that happiness was the key to life. When I went to school, they asked me what I wanted to be when I grew up. I wrote down ‘happy.’ They told me I didn’t understand the assignment, and I told them they didn’t understand life.” —John Lennon
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Hallo in die Runde,
hier meine Lösung:
(Statt des Sehnensatzes kann man natürlich auch den Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck ABC heranziehen.)
Viele Grüße
ottogal
