Mathematik zur Wochenmitte

[Gunnar Bittersmann]

Wie groß ist der Winkel zwischen den Diagonalen?

Nachtrag: ohne trigonometrische Funktionen, bitte.

😷 LLAP

[manuelv]

Hallo Gunnar,

Lösungen zur Wochenmitte (Ganz ohne trigonometrische Funktionen):

Die ganze Zeichnung kann man zuerst einmal als zweidimensionalen Raum sehen, den Schnittpunkt der beiden Diagonalen wähle ich als Ursprung des Koordinatensystems. Nun hat man also den Punkt $$A(1/5)$$ und den Punkt $$B(2/3)$$. Zur Hilfe nehmen kann man sich nun, dass wenn man das blaue Rechteck "hinlegt", also um $$90°$$ dreht, man einen $$90°$$ Winkel zwischen den Diagonalen der blauen Rechtecke erhält. Das Diagonalenende des anderen Rechtecks nennen wir $$A'$$ und dieses liegt bei $$A'(5/1)$$. Nun müssen wir nur noch die Distanz von $$A$$ zu $$B$$ und von $$B$$ zu $$A'$$ ausrechnen, wir nehmen also den Vektor

$$\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=\left(\begin{array}{c} (3) \ (-2) \end{array}\right)$$

und

$$\vec{BA'}=\vec{OA'}-\vec{OB}=\left(\begin{array}{c} (3) \ (-2) \end{array}\right)$$

Nun könnte man noch die Beträge der beiden Vektoren ausrechnen und vergleichen, aber ich denke es ist relativ offensichtlich, dass diese identisch sind. Da die Vektoren an sich auch identisch sind müssen wir nichteinmal mehr prüfen, ob die Punkte überhaupt auf einer Geraden liegen. Somit ist der Vektor $$\vec{OB}$$ (also die Diagonale des gelben Rechtecks) die Winkelhalbierende des $$90°$$ Winkels der beiden blauen und somit ist der Winkel zwischen den Diagonalen und die Antwort auf deine Frage:

$$90°/2=45°$$

$$qed.$$

LG Manuel

[Rolf B]

Hallo manuelv,

Lösungsvorschlag wiederhergestellt 😀

Rolf

[Rolf B]

Hallo manuelv,

bitte entschuldige, dass ich deinen Beitrag gelöscht habe. Nach Veröffentlichung der Lösung stelle ich ihn gern wieder her. Bis dahin - psst 😉

Ich schicke Dir den Text gleich als Post zu, dann kannst Du ihn per "Nachricht an den Autor" bei Gunnar einreichen. Klick oben rechts auf den "Post" Link, da findest Du ihn.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Quelle des Rätsels: Catriona Agg.

5 − 3 = 2 und 1 + 2 = 3 lädt ja geradezu ein, da noch ein 3×2-Rechteck reinzumalen:

Pythagoras: e² = 5² + 1² = 26 und f ² = 2² + 3² = 13. Da e² = f ² + f ², ist das entstehende Dreieck rechtwinklig. Gleichschenklich-rechtwinklig, der gesuchte Winkel ist also 45°.

Wie schon zuvor brauchen wir keine Wurzel zu ziehen! Die Längen e und f werden nirgends verwendet, nur ihre Quadrate.

Aber wir brauchen auch gar nicht den Pythagoras. Dass der Winkel ein rechter ist, ergibt sich auch schon daraus, dass das eine 3×2-Rechteck gegenüber dem anderen um 90° gedreht ist.

Lösung und Verallgemeinerung als Video. Geht auch mit goldenen Rechtecken.

😷 LLAP