Mathematik zum Wochenende

[Gunnar Bittersmann]

Wie groß ist die Fläche des Quadrats?

😷 LLAP

[Samuel fiedler]

Hallo Gunnar!

Ich habe als Resultat 15.131386246948912 mit alert(Math.pow(424/109, 2)) in JavaScript erreicht.
Dieses Ergebnis stimmt aber nur, wenn die markierte Strecke (schwarz) wirklich eine Länge 109 px und das Rechteck eine Seitenlänge (mit Rand) von 424 px hat.
Für den Fall, dass die Innenlänge gemeint ist, habe ich mit alert(Math.pow(417/109, 2)) 14.635889234912886 erreicht.
Wenn die reine Länge gemeint ist, erhält man das Ergebnis 14.883637740930899 mit dem JavaScript-Code alert((15.131386246948912+14.635889234912886)/2).

Liebe Grüße,
Samuel Fiedler

Nach Veröffentlichung der Lösung wiederhergestellt / Rolf B

[Rolf B]

Hallo Samuel,

dein Ergebnis erinnert mich an meine Schulzeit. Wir mussten noch lernen, den Rechenschieber zu benutzen.

Das führte zu Ergebnissen wie: 3 mal 5 ist ungefähr 14,95.

Aber eine alte Weisheit besagt: Mathematik ist die Kunst, das Rechnen zu vermeiden.

Finde also eine Lösung mit Mathematik, statt durch Ausmessen der Grafik. Es ist eine Schemazeichnung, möglicherweise ist sie nicht maßstabsgetreu. Poste die Lösung dann bitte nicht öffentlich, sondern schicke sie an Gunnar, als "Nachricht an den Autor".

Als Spoiler-Vermeidung lösche ich den Inhalt deines Postings erstmal. Ich stelle es nach Bekanntgabe der Lösung durch Gunnar wieder her. Wer es bis dahin unbedingt sehen will, kann in die Versionshistorie des Postings schauen.

Rolf

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

ich entnehme aus der Zeichnung folgende Voraussetzungen als gegeben:

• Die beiden oberen Eckpunkte des Quadrats liegen auf der Kreislinie
• Die Linie der Länge 1 bezeichnet die Höhe des Kreissegments, den die Quadratoberkante vom Kreis abteilt
• Die Kreislinie und die Unterkante des Quadrats berühren sich in einem Punkt.

Rolf

[Felix Riesterer]

Lieber Gunnar,

Wie groß ist die Fläche des Quadrats?

Quelle: spektrum.de

Liebe Grüße

Felix Riesterer

[Rolf B]

Hallo Felix,

die Quelle hat ihre Quelle genannt: Catriona Agg. Gunnar folgt ihr schon lange, viele Geometrierätsel, die er hier stellt, sind von ihr.

Es kann aber gut sein, dass ihn die spektrum.de Publikation inspiriert hat...

Keine Ahnung, wie die Attributierungsregeln für Inhalte von Twitter sind.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Felix Riesterer

Quelle: spektrum.de

Genau.

Die hätte ich dann natürlich noch genannt – wie immer mit der Lösung. Aber da dort keine Lösungen publik gemacht werden, hätte ich das diesmal auch gleich tun können.

Zumal da ja auch etwas über Catriona Agg steht, von der viele der Mathe-Rätsel hier im Forum stammen. Und über ihr Buch, was da aber nicht verlinkt ist. Dass ich hier zu Amazon verlinke, soll keine Empfehlung sein, es dort zu kaufen. Es gibt andere Buchhandlungen.

😷 LLAP

[Der Martin]

Hallo Gunnar,

Quelle: spektrum.de

Genau.

Die hätte ich dann natürlich noch genannt – wie immer mit der Lösung. Aber da dort keine Lösungen publik gemacht werden, ...

ach, den Link^[1] "Lösung anzeigen" bilde ich mir wohl ein?

Zumal da ja auch etwas über Catriona Agg steht, von der viele der Mathe-Rätsel hier im Forum stammen. Und über ihr Buch, was da aber nicht verlinkt ist. Dass ich hier zu Amazon verlinke, soll keine Empfehlung sein, es dort zu kaufen. Es gibt andere Buchhandlungen.

Ja, aber wenn du schon auf amazon verlinkst, dann doch bitte kanonisch und am besten auf amazon Deutschland. Wenn jemand der hier Mitlesenden bei amazon bestellt, wird das die naheliegende Option sein.

May the Schwartz be with you
 Martin

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1. EDIT: Sorry, ist gar kein Link. Is'n Button. ↩︎

[TS]

Hello,

kommt hier noch eine offizielle Lösung? :-)

Glück Auf
Tom vom Berg

[Gunnar Bittersmann]

@@TS

kommt hier noch eine offizielle Lösung? :-)

Wie jetzt, ist das Wochenende schon vorbei?

Ich hab mal wieder (zu viel) gerechnet: Der Punkt (½a, a) = (r − ½, 2r − 1) liegt auf dem Kreis x² + (y − r)² = r². Eingesetzt und aufgelöst ergibt das r = ⁵⁄₂, a = 4, also a² = 16.

Einfacher geht’s über den Sehnensatz bzw. Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck, woraus sofort ½a · ½a = a, also a = 4 folgt.

@encoder, @ottogal und @Rolf B hatten’s so gemacht. Und auch die Musterlösung auf spektrum.de, auf welche @Der Martin schon verwiesen hat.

@Tabellenkalk schrieb was von „Pythagoras 3mal“. Also auch die Kreisgleichung?

😷 LLAP

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

immer diese mathematischen Leersätze. Samuel hat's viel praktischer und vieeeel genauer gelöst 😉

Rolf

[Tabellenkalk]

Hallo,

@Tabellenkalk schrieb was von „Pythagoras 3mal“.

Vorher wird aber noch einmal Thales benötigt, um überhaupt zu den drei rechtwinkligen Dreiecken zu kommen.

Also auch die Kreisgleichung?

Die sagt mir grad nix. Hab ich glaub ich nicht verwendet.

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@Tabellenkalk

@Tabellenkalk schrieb was von „Pythagoras 3mal“.

Vorher wird aber noch einmal Thales benötigt, um überhaupt zu den drei rechtwinkligen Dreiecken zu kommen.

Wie auch in der Musterlösung genannt. Wenn man mit dem Sehnensatz argumentiert, braucht man nichtmal den Thales.

Also auch die Kreisgleichung?

Die sagt mir grad nix.

Kreisgleichung. Der gute alte Pythagoras.

😷 LLAP

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

hier nochmal meine Lösung:

Sei $$x$$ die Seitenlänge des Quadrats. Dem Augenschein nach ist die Oberkante des Quadrats eine Sehne des Kreises, und die Linie der Länge 1 befindet in ihrer Mitte und steht senkrecht darauf. Sie lässt sich demnach zu einem Kreisdurchmesser verlängern^[1], der von der Quadratoberkante in zwei Teile der Länge $$1$$ und $$x$$ geteilt wird. Der Durchmesser teilt die Oberkante wiederum in zwei Teile der Länge $$\displaystyle \frac{x}{2}$$.

Laut Sehnensatz ist dann

$$\displaystyle \frac{x}{2}\cdot \frac{x}{2} = 1\cdot x \Longleftrightarrow x=4$$.

Die Fläche des Quadrats ist $$\displaystyle A_Q=x^2=16$$.

Rolf

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1. Die Mittelsenkrechte einer Kreissehne verläuft durch den Kreismittelpunkt, weil der Kreismittelpunkt von beiden Endpunkten der Sehne gleich weit weg ist, und bildet deshalb einen Durchmesser des Kreises. ↩︎