Mathematik zur Wochenmitte – Lösung

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Die Aufgabe hatte ich diesmal von @SchoenMuc.

Wir legen das Ganze so in ein Koordinatensystem, dass die 3 Punkte auf dem Kreis A(0, 0), B(0, −4) und C(6, −8) sind.

Da A, B und C auf dem Kreis mit Radius r um den Mittelpunkt M(x₀, y₀) liegen, erfüllen ihre Koordinaten (x, y) die Kreisgleichung (x − x₀)² + (y − y₀)² = r². (Manche sagen auch „Pythagoras“ dazu. 😉)

Koordinaten von A und B eingesetzt und gleichgesetzt:
(−x₀)² + (−y₀)² = x² + y₀² = (−x₀)² + (−4 − y₀)² = x₀² + 16 + 8y₀ + y₀², also y₀ = −2.

Das in die 3. Gleichung für C eingesetzt und wieder mit der von A gleichgesetzt:
(−x₀)² + (−2)² = x₀² + 4 = (6 − x₀)² + (−8 + 2)² = 72 − 12x₀ + x₀², woraus sich x₀ = ¹⁷⁄₃ ergibt.

Aus r² = (¹⁷⁄₃)² + (−2)² erhalten wir r = ⁵⁄₃√13, was ein ganz klein wenig über 6 ist. Und da die Aufgabe in Zentimetern gestellt ist, ist die Antwort ⁵⁄₃√13 cm.

Anderer Lösungsweg: Der Kreis ist der Umkreis des Dreiecks ABC; sein Mittelpunkt also der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.

Wie man leicht sieht (wirklich!), ist die Mittelsenkrechte zu AB die Gerade y = −2.

AC liegt auf y = −⁴⁄₃x; der Mittelpunkt ist P(3, −4). Die Mittelsenkrechte dazu hat den Anstieg ³⁄₄; und damit sie durch P geht, ist es y = ³⁄₄x − ²⁵⁄₄.

Gleichsetzen: ³⁄₄x₀ − ²⁵⁄₄ = −2 ergibt wieder x₀ = ¹⁷⁄₃. Von da ab weiter wie oben.

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