Dreikönigsmathematik

[Rolf B]

Hallo Martin,

den verlinkten Wikipedia-Artikel hast Du gelesen?

Schau Dir das Bild https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kreiswinkel.svg nochmal an - es zeigt die 3 möglichen Fälle und ich werde mich jetzt darauf beziehen. Fall 2 ist ein Sonderfall und wird in der Schule als Satz des Thales gelehrt. Der Sehnentangentenwinkel $$\tau$$ ist für die Aufgabe irrelevant, den lassen wir weg.

Ausgangsbasis für den allgemeinen Fall ist ein Kreissektor, also das Tortenstück mit Spitze bei M und den Punkten A und B auf dem Kreis, die den Sektor begrenzen. Dieser Kreissektor hat einen Öffnungswinkel µ. Das Tortenstück kann kleiner als die Hälfte der Torte sein (Fall 1), gleich groß oder - mjam! - größer (Fall 3).

Jetzt legen wir einen Punkt P auf den Umfang vom Tortenrest, und betrachten zwei Winkel: Den Zentriwinkel (oder Mittelpunktswinkel) - das ist der blaue Öffnungswinkel des Tortenstücks. Und den Peripheriewinkel (oder Umfangswinkel) - das ist der rote Winkel von den Ecken A und B des Tortenstücks zum Punkt P.

Die Beobachtung ist, dass der Winkel bei P immer gleich groß ist, egal wo P auf dem Tortenrest liegt, und dass er halb so groß ist wie der Zentriwinkel bei M. Der Beweis dafür steht im Wikipedia-Artikel.

Übertragen wir das jetzt auf die Aufgabe von Catriona. Die Torte ist der Kreis um C, das Tortenstück geht (in Linksdrehung) von D nach B. Es hat einen Zentriwinkel von 90°. Der Tortenrest ist der Dreiviertelkreis von B nach D und J ist ein Punkt auf dem Umfang des Tortenrests. Demnach ist der Winkel bei J halb so groß wie der Zentriwinkel - 45°.

Rolf