Mathematik zum Wochenende

[Gunnar Bittersmann]

Kann es sein, dass $$\displaystyle \sum_{n=1}^m n^3 = \left(\sum_{n=1}^m n\right)^2$$ ist?

🖖 Живіть довго і процвітайте

PS: Bei „nein“ soll ein m angegeben werden, für welches die Gleichung nicht gilt. Bei „ja“ soll ein Beweis erbracht werden.

PPS: Oh, schon wieder keine Skizze.

[Tabellenkalk]

Hallo,

Kann es sein, dass $$\displaystyle \sum_{n=1}^m n^3 = \left(\sum_{n=1}^m n\right)^2$$ ist?

🖖 Живіть довго і процвітайте

PS: Bei „nein“ soll ein m angegeben werden, für welches die Gleichung nicht gilt. Bei „ja“ soll ein Beweis erbracht werden.

So wie ich die Frage verstehe, hätte ich das PS genau umgekehrt erwartet...

Gruß
Kalk

[Der Martin]

Moin,

Kann es sein, dass $$\displaystyle \sum_{n=1}^m n^3 = \left(\sum_{n=1}^m n\right)^2$$ ist?

🖖 Живіть довго і процвітайте

PS: Bei „nein“ soll ein m angegeben werden, für welches die Gleichung nicht gilt. Bei „ja“ soll ein Beweis erbracht werden.

So wie ich die Frage verstehe, hätte ich das PS genau umgekehrt erwartet...

nein, das ist nicht sinnvoll.

Ein Beispiel für ein m, bei dem die Gleichung nicht gilt, genügt ja schon. Damit ist die allgemeine Gültigkeit schon widerlegt.
Nur im positiven Fall muss gezeigt werden, dass das für alle m gilt.

Einen schönen Tag noch
 Martin

[Tabellenkalk]

Hallo,

Nur im positiven Fall muss gezeigt werden, dass das für alle m gilt.

Und dass es um alle m geht, geht eben aus der Frage nicht hervor. Wenn ich ein m gefunden habe, für das die Gleichung gilt, lautet die Antwort: „Ja, es kann sein.“

Muss ich meine Logik-Einheit neu kalibrieren?

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@Tabellenkalk

Muss ich meine Logik-Einheit neu kalibrieren?

Nö, die nicht. Aber vielleicht die Übersetzungs-Einheit?

Das salopp formulierte „Kann es sein, dass …“ sollte schon als „Überprüfe, ob …“ verstanden werden.

🖖 Живіть довго і процвітайте

[Tabellenkalk]

Hallo,

@@Tabellenkalk

Muss ich meine Logik-Einheit neu kalibrieren?

Nö, die nicht. Aber vielleicht die Übersetzungs-Einheit?

Das salopp formulierte „Kann es sein, dass …“ sollte schon als „Überprüfe, ob …“ verstanden werden.

🖖 Живіть довго і процвітайте

Habe jetzt bis m=1019 überprüft. Ich fürchte, ich sollte die Alternative ins Auge fassen…

Gruß
Kalk

[Friedel]

Wenn aus der Lösung hervorgeht, was „$$\displaystyle \sum_{n=1}^m n^3 = \left(\sum_{n=1}^m n\right)^2$$“ und „🖖 Живіть довго і процвітайте“ bedeutet, warte ich gerne auf die Lösung.

Die Zeichen aus „$$\displaystyle \sum_{n=1}^m n^3 = \left(\sum_{n=1}^m n\right)^2$$“ habe ich schon gesehen. Aber was hat es mit dem gelben Klecks „🖖“ auf sich? Und die Krakel danach hätte ich für kyrillische Buchstaben gehalten. Was hat das in einer Matheaufgabe zu suchen?

[Gunnar Bittersmann]

@@Friedel

Aber was hat es mit dem gelben Klecks „🖖“ auf sich?

https://de.wikipedia.org/wiki/Völker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Grußgeste_der_Vulkanier

Und die Krakel danach hätte ich für kyrillische Buchstaben gehalten.

https://uk.wikipedia.org/wiki/Вулканський_салют

Was hat das in einer Matheaufgabe zu suchen?

Einstellungen > Verabschiedung

🖖 Живіть довго і процвітайте

[Tabellenkalk]

Hallo,

was „$$\displaystyle \sum_{n=1}^m n^3 = \left(\sum_{n=1}^m n\right)^2$$“ bedeutet

das komische, große Eckige ist das griechische Sigma und steht in der Mathematik für Summe. D.h. im ersten Term wird eine Zahlenfolge aufsummiert, deren Summanden n³ sind, wobei n ganzzahlige, aufeinanderfolgende Werte annimmt die von 1 bis m gehen. Im zweiten Term wird nur n aufsummiert, danach die Summe aber quadriert.

Gruß
Kalk

[Der Martin]

Hi,

was „$$\displaystyle \sum_{n=1}^m n^3 = \left(\sum_{n=1}^m n\right)^2$$“ bedeutet

das komische, große Eckige ist das griechische Sigma und steht in der Mathematik für Summe. D.h. im ersten Term wird eine Zahlenfolge aufsummiert, deren Summanden n³ sind, wobei n ganzzahlige, aufeinanderfolgende Werte annimmt die von 1 bis m gehen. Im zweiten Term wird nur n aufsummiert, danach die Summe aber quadriert.

genau, und wenn man sich erinnert (oder recherchiert), was für einen Kniff der junge Carl Friedrich damals angewendet hat, kann man zumindest die rechte Seite der Gleichung als geschlossenen Ausdruck schreiben. Das ist vermutlich der Schlüssel zur Lösung.
An der linken Seite knoble ich noch.

Einen schönen Tag noch
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin

genau, und wenn man sich erinnert (oder recherchiert), was für einen Kniff der junge Carl Friedrich damals angewendet hat

Ja, den Kniff wende ich auch an …

kann man zumindest die rechte Seite der Gleichung als geschlossenen Ausdruck schreiben.

… wenngleich vermutlich etwas anders.

🖖 Живіть довго і процвітайте

[Tabellenkalk]

Hallo,

An der linken Seite knoble ich noch.

Für die lass ich mir dann vom Johannes helfen…

Gruß
Kalk

[Rolf B]

Hallo Tabellenkalk,

Johannes? Da habe ich eher in Richtung Blaise oder vielleicht Guiseppe geschielt, um die Sache vollständig in den Griff zu bekommen.

Rolf

[Tabellenkalk]

Hallo,

Johannes?

Jepp, ich kannte ihn zwar bisher auch nicht, aber er hat sich bis zur 17. Ordnung durchgekämpft!

Edith meint: und zwar ohne Jakobs Hilfe!

Gruß
Kalk

[Friedel]

Danke. Gute Erklärung. Damit habe ich die Aufgabe verstanden und habe auch eine Idee, die mich vielleicht zur Lösung führen könnte. Allerdings wohl nicht mehr heute. Allerdings verfolge ich vielleicht einen anderen Ansatz als Der Martin, denn den Carl Friedrich kenne ich leider nur dem Namen nach und von Geldscheinen.

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Kann es sein, dass $$\displaystyle \sum_{n=1}^m n^3 = \left(\sum_{n=1}^m n\right)^2$$ ist?

PS: Bei „nein“ soll ein m angegeben werden, für welches die Gleichung nicht gilt. Bei „ja“ soll ein Beweis erbracht werden.

Bevor wir uns auf die Suche nach einem Gegenbeispiel machen, beweisen wir lieber die Gleichheit. Ich glaube, das wird einfacher. 😏

Wie man leicht sieht, stimmt die Gleichung für m = 1.

Nehmen wir an, die Gleichung stimmt für ein beliebiges, aber festes m ∈ ℕ⁺. Zu zeigen: Dann gilt sie auch für m + 1, d.h. $$\displaystyle \sum_{n=1}^{m+1} n^3 = \left(\sum_{n=1}^{m+1} n\right)^2$$

Na dann rechnen wir mal nach:
$$\displaystyle \left(\sum_{n=1}^{m+1} n\right)^2 = \left(\sum_{n=1}^m n + (m+1)\right)^2$$
$$\displaystyle \qquad\qquad\ = \left(\sum_{n=1}^m n\right)^2 + 2(m+1)\sum_{n=1}^m n + (m+1)^2$$
$$\displaystyle \qquad\qquad\ = \sum_{n=1}^m n^3 + 2(m+1)\sum_{n=1}^m n + (m+1)^2\qquad$$ (nach Induktionsvoraussetzung)
$$\displaystyle \qquad\qquad\ = \sum_{n=1}^m n^3 + 2(m+1)\frac{m(m+1)}{2} + (m+1)^2\qquad$$ (nach Carl Friedrich)
$$\displaystyle \qquad\qquad\ = \sum_{n=1}^m n^3 + m(m+1)^2 + (m+1)^2$$
$$\displaystyle \qquad\qquad\ = \sum_{n=1}^m n^3 + (m+1)(m+1)^2$$
$$\displaystyle \qquad\qquad\ = \sum_{n=1}^m n^3 + (m+1)^3$$
$$\displaystyle \qquad\qquad\ = \sum_{n=1}^{m+1} n^3$$

@Rolf B und @Matthias Fulde hatten’s auch in etwa so: „Beweis durch ein Mittel, das heute in der Schule keiner mehr lernt: Vollständige Induktion“, wie Rolf sagte. Ist das so? Wenn ja, warum?

@Tabellenkalk verwies auf Johannes und die nach ihm benannten Polynome.

🖖 Живіть довго і процвітайте

[Der Martin]

Hallo Gunnar,

@Rolf B und @Matthias Fulde hatten’s auch in etwa so: „Beweis durch ein Mittel, das heute in der Schule keiner mehr lernt: Vollständige Induktion“, wie Rolf sagte. Ist das so? Wenn ja, warum?

ganz ehrlich: Das wurde schon zu meiner Schulzeit in den 80ern nicht mehr erwähnt. Nicht einmal im Mathe-Leistungskurs. Ich kenne den Ausdruck Weiter mit vollständiger Induktion nur als geflügeltes Wort mit der Bedeutung "Wie es weitergeht, ist ja wohl jedem klar".

Wenn ja, warum nicht?

Einen schönen Tag noch
 Martin

[Rolf B]

Hallo Martin,

mein Abi war 1984, und in meiner Mathe LK Klausur war eine VI Aufgabe drin. Da bin ich mir sehr sicher.

Und später, in der Ausbildung zum Mathematisch Technischen Assistenten, und danach beim Fernstudium in Hagen, kam sie dann gründlich. Unvergessen ist Theoretische Informatik und der Beweis der Korrektheit eines Algorithmus per Vollständiger Induktion über die Programmschleifen 🤮

Rolf

[ottogal]

Nochmal eineinhalb Jahrzehnte früher kam die Vollständige Induktion in meinem Abi (in Bayern) noch nicht vor.
Im ersten Semester Mathe dann bewies mein Prof damit die Aussage, dass in einen Koffer unendlich viele Krawatten gepackt werden können. Sind nämlich schon n drin, passt immer noch eine (n+1)-te hinein...

[Friedel]

Bei mir kam das im Abi auch nicht. Das war Stoff der Mittleren Reife. (2. Bildungsweg, 1985)