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Gunnar Bittersmann@@Gunnar Bittersmann
$$16^x+20^x=25^x.$$
a) Zeige, dass es keine Lösung x ∈ ℕ gibt.
Für x = 0 steht da 1 + 1 = 1. Wie wir wissen, stimmt das nicht.
- 1 + 1 = 3
- “It is the essential equation of love.
There is no love without 1 + 1 equaling 3.
It’s the essential equation of art.
It’s the essential equation of rock and roll.”
— Bruce Springsteen on Broadway, Intro to “Tenth Avenue Freeze-Out”
Für x ∈ ℕ⁺ ist $$16^x$$ eine gerade Zahl; $$20^x$$ ebenso. Die Summe auf der linken Seite ist gerade; $$25^x$$ auf der rechten Seite hingegen ist ungerade.
b) Finde eine Lösung x ∉ ℕ.
$$16^x+20^x=25^x$$
$$1+\ \dfrac{20^x}{16^x}\ =\dfrac{25^x}{16^x}$$
$$1+\left(\frac{5}{4}\right)^x=\left(\frac{5}{4}\right)^{2x}$$
Wir substituieren $$\left(\frac{5}{4}\right)^x=t$$. Für alle x ∈ ℝ ist t > 0.
$$1+t=t^2$$
$$\quad\ \ 0=t^2-t-1$$
$$\quad\ \ t=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{5}\right)=\Phi$$ (goldener Schnitt)
(Wegen t > 0 entfällt die andere Lösung der quadratischen Gleichung.)
Einsetzen und logarithmieren:
$$\ln\left(\frac{5}{4}\right)^x=x\cdot\ln\frac{5}{4}=\ln\Phi$$
Und schon haben wir die Lösung $$x=\dfrac{\ln\Phi}{\ln\tfrac{5}{4}}$$
(Wer unbedingt den Taschenrechner für einen Näherungswert bemühen will, sollte ≈2,1565 rausbekommen.)
Die Aufgabe samt Lösungsweg hab ich von YouTube. Ihr könnt euch das Anschauen des Videos sparen; in den 8 Minuten passiert nicht mehr als ich hier in 8 Zeilen aufgeschrieben habe. Erwähnenswert der Umstand, dass in anderen Regionen Klammern gesetzt werden, wo wir sie als völlig überflüsig erachten.
Stattdessen empfehle ich anzusehen, wie einer die Gleichung 5. Grades x⁵ − 5x + 3 = 0 löst.
🖖 Живіть довго і процвітайте
When the power of love overcomes the love of power the world will know peace.
— Jimi Hendrix
Der Martin
Rolf B