Mathematik zum Wochenende

[Gunnar Bittersmann]

Heute mal eine Aufgabe ohne Skizze.

$$16^x+20^x=25^x.$$

🖖 Живіть довго і процвітайте

PS: Lösungen wie immer bitte nicht hier posten, sondern per DM (Post) an mich. Ich löse dann in ein paar Tagen auf.

[Jörg]

Heute mal eine Aufgabe ohne Skizze.

$$16^x+20^x=25^x.$$

PS: Lösungen wie immer bitte nicht hier posten, sondern per DM (Post) an mich. Ich löse dann in ein paar Tagen auf.

$x = 0;
$passt = 0;
while($passt != 1) {
    $x++;
    if(pow(16,$x) + pow(20,$x) == pow(25,$x)) {
        $passt = 1;
        echo "X ist gleich $x";
    }
}

Ist ja keine echte Lösung 😜

[Jörg]

Ist ja keine echte Lösung 😜

Was mich aber zu einer Frage bringt:

Warum bringt mich php, wenn ich $x auf -1000 vpor der Schleife setze, zur Lösung, dass das gesuchte $x -999 wäre? (0 = 0)

Jörg

P.S: Sorry, Gunnar, ich wollt eigentlich Dein Thema nicht kapern. Grad nicht bei einer so schönen Aufgabe.👍
Sollte das also unerwünscht sein, möge ein Admin es bitte löschen. 😉

[Der Martin]

Hallo,

Warum bringt mich php, wenn ich $x auf -1000 vpor der Schleife setze, zur Lösung, dass das gesuchte $x -999 wäre? (0 = 0)

vermutlich weil dann die Zahlen so klein werden, dass sie als IEEE-Float nicht mehr darstellbar sind und daher zu 0 gerundet werden.

P.S: Sorry, Gunnar, ich wollt eigentlich Dein Thema nicht kapern. Grad nicht bei einer so schönen Aufgabe.👍
Sollte das also unerwünscht sein, möge ein Admin es bitte löschen. 😉

Solche Beiträge sind zwar eigentlich unerwünscht, aber da du sowieso auf dem informationstechnischen Holzweg bist ...

Einen schönen Tag noch
 Martin

[Jörg]

Hi Martin,

vermutlich weil dann die Zahlen so klein werden, dass sie als IEEE-Float nicht mehr darstellbar sind und daher zu 0 gerundet werden.

Ja, so hab ichs mir auch erklärt.

Solche Beiträge sind zwar eigentlich unerwünscht, aber da du sowieso auf dem informationstechnischen Holzweg bist ...

Kein problem. Einfach löschen und gut ist. 😀

Die Aufgabe selber ist trotzdem schön, bin auf die Lösung gespannt.

[Raketenwilli]

aber da du sowieso auf dem informationstechnischen Holzweg bist ...

Jepp! Man sollte sich die Fakten (Variablen und Rechenergebnisse) sicherheitshalber ausgeben lassen und diese auch zu beurteilen wissen:

…
X=220 : 8.0611348134715E+264 + 1.6849966666969E+286 = 3.5221018286841E+307
X=221 : 1.2897815701554E+266 + 3.3699933333938E+287 = INF
…
X=237 : 2.3792270535645E+285 + INF = INF

(INF ist in PHP eine Konstante.)

sonst glaubt man am Ende noch Blutimir Putin, dem sebsterklärtem Schwindelpraxis-Schiffmann oder seinem eigenem Computer-Programm.

(Hier meine Anpassungen, welche das Problem zeigen aber nicht lösen:)

<?php
header('Content-Type: text/plain; charset=utf-8');
$x = 0;
$passtNicht = true;
while( $passtNicht ) {
    $x++;
    echo 'X=' . $x . ' : ' . pow(16,$x) . ' + ' . pow(20,$x) . ' = ' . pow(25,$x) . PHP_EOL;
    if(pow(16,$x) + pow(20,$x) == pow(25,$x)) {
        $passtNicht = false;
        echo "X ist gleich $x ?" . PHP_EOL;
    }
}

[Jörg]

aber da du sowieso auf dem informationstechnischen Holzweg bist ...

Jepp! Man sollte sich die Fakten (Variablen und Rechenergebnisse) sicherheitshalber ausgeben lassen und diese auch zu beurteilen wissen:

…
X=220 : 8.0611348134715E+264 + 1.6849966666969E+286 = 3.5221018286841E+307
X=221 : 1.2897815701554E+266 + 3.3699933333938E+287 = INF
…
X=237 : 2.3792270535645E+285 + INF = INF

Arghs, verteufelt. 😬
Aber wieder was gelernt.
Und so hat das kapern des Threads auch noch sein Gutes und für das Forum nützliches. 😇

Danke für die Aufklärung.

[Gunnar Bittersmann]

@@Jörg

$$16^x+20^x=25^x.$$

$x = 0;
$passt = 0;
while($passt != 1) {
    $x++;

Hehe, dass die Gleichung keine positive ganzzahlige Lösung haben kann, ist doch schnell gezeigt. Hold my beer…

Ach, wisst ihr was? Macht ihr das! Wir teilen die Aufgabe:

a) Zeige, dass es keine Lösung x ∈ ℕ gibt.

b) Finde eine Lösung x ∉ ℕ.

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[Raketenwilli]

Wir teilen die Aufgabe:

a) Zeige, dass es keine Lösung x ∈ ℕ gibt.

b) Finde eine Lösung x ∉ ℕ.

a) ist so kurz vor der Lösung, dass die Teilung nur bewirkt, dass derjenige, der die Hauptleistung a) erbringt auf die Lorbeeren verzichten soll die es dann für b) gibt?

[Gunnar Bittersmann]

@@Raketenwilli

a) ist so kurz vor der Lösung, dass die Teilung nur bewirkt, dass derjenige, der die Hauptleistung a) erbringt auf die Lorbeeren verzichten soll die es dann für b) gibt?

Ich habe zwei Lorbeerkränze geflochten.

🖖 Живіть довго і процвітайте

[Raketenwilli]

Hm. Aufgabe war:

$$16^x+20^x=25^x.$$

Gibt es denn auch einen Lorbeerkranz für die beiden offensichtlichen Lösungen:

1. X=INF ;# Unendlich
2. X=-1*INF ;# Unendlich Negativ

Definiert ist wie folgt

INF + INF = INF
INF - INF = 0
n * INF   = INF
n ^ INF   = INF
n / INF   = 0
n % INF   = 0
INF / INF = 1

Also folgt mit x = INF:

16 ^ INF = INF
20 ^ INF = INF 
25 ^ INF = INF
INF + INF = INF; Gelöst!

Und mit x = -INF:

n ^ (-INF)  = 1/(n^INF) = 1/INF = 0;
16 ^ (-INF) = 0;
20 ^ (-INF) = 0;
25 ^ (-INF) = 0;
0 + 0 = 0; Gelöst!

Oder nur für die Zahl dazwischen, die man auch mit der Annäherungsmethode berechnen kann?

[Gunnar Bittersmann]

@@Raketenwilli

Hm. Aufgabe war:

$$16^x+20^x=25^x.$$

Gibt es denn auch einen Lorbeerkranz für die beiden offensichtlichen Lösungen:

1. X=INF ;# Unendlich

Das ist ganz offensichtlich keine Lösung. Das hieße ja $$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{16^x+20^x}{25^x} = 1$$.

Es ist aber $$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{16^x+20^x}{25^x} = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{16}{25}\right)^x + \lim_{x \to \infty} \left(\frac{20}{25}\right)^x = 0$$

2. X=-1*INF ;# Unendlich Negativ

0 + 0 = 0; das sollte stimmen.

Aber lorbeerkranzverdächtig ist das nicht.

Oder nur für die Zahl dazwischen, die man auch mit der Annäherungsmethode berechnen kann?

Annäherungsmethode?

Gesucht ist (sind?) die Zahl(en?). Und zwar genau, keine Näherung.

🖖 Живіть довго і процвітайте

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

$$16^x+20^x=25^x.$$

a) Zeige, dass es keine Lösung x ∈ ℕ gibt.

Für x = 0 steht da 1 + 1 = 1. Wie wir wissen, stimmt das nicht.

1 + 1 = 3

“It is the essential equation of love.
There is no love without 1 + 1 equaling 3.
It’s the essential equation of art.
It’s the essential equation of rock and roll.”
— Bruce Springsteen on Broadway, Intro to “Tenth Avenue Freeze-Out”

Für x ∈ ℕ⁺ ist $$16^x$$ eine gerade Zahl; $$20^x$$ ebenso. Die Summe auf der linken Seite ist gerade; $$25^x$$ auf der rechten Seite hingegen ist ungerade.

---

b) Finde eine Lösung x ∉ ℕ.

$$16^x+20^x=25^x$$
$$1+\ \dfrac{20^x}{16^x}\ =\dfrac{25^x}{16^x}$$
$$1+\left(\frac{5}{4}\right)^x=\left(\frac{5}{4}\right)^{2x}$$

Wir substituieren $$\left(\frac{5}{4}\right)^x=t$$. Für alle x ∈ ℝ ist t > 0.
$$1+t=t^2$$
$$\quad\ \ 0=t^2-t-1$$
$$\quad\ \ t=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{5}\right)=\Phi$$ (goldener Schnitt)

(Wegen t > 0 entfällt die andere Lösung der quadratischen Gleichung.)

Einsetzen und logarithmieren:
$$\ln\left(\frac{5}{4}\right)^x=x\cdot\ln\frac{5}{4}=\ln\Phi$$

Und schon haben wir die Lösung $$x=\dfrac{\ln\Phi}{\ln\tfrac{5}{4}}$$

(Wer unbedingt den Taschenrechner für einen Näherungswert bemühen will, sollte ≈2,1565 rausbekommen.)

Die Aufgabe samt Lösungsweg hab ich von YouTube. Ihr könnt euch das Anschauen des Videos sparen; in den 8 Minuten passiert nicht mehr als ich hier in 8 Zeilen aufgeschrieben habe. Erwähnenswert der Umstand, dass in anderen Regionen Klammern gesetzt werden, wo wir sie als völlig überflüsig erachten.

Stattdessen empfehle ich anzusehen, wie einer die Gleichung 5. Grades x⁵ − 5x + 3 = 0 löst.

🖖 Живіть довго і процвітайте