Mathematik zum Herrentag

[Gunnar Bittersmann]

Finde zwei positive rationale Zahlen a, b < 10, für die a · b = 99.

Edit Rolf B: "positiv" ergänzt

(Lösungen wie immer bitte nicht hier posten, sondern per DM (Post) an mich. Ich löse dann in ein paar Tagen auf.)

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[Tabellenkalk]

Hallo,

Finde zwei rationale Zahlen a, b < 10, für die a · b = 99.

Nachdem ich im Titel „Herrentag“ gelesen hab, las ich auch „nationale Zahlen“. Zufall?

Jedenfalls fehlt ein zweites Verb: „für die ... gilt“

Gruß
Kalk

[Der Martin]

Moin,

Finde zwei rationale Zahlen a, b < 10, für die a · b = 99.

Nachdem ich im Titel „Herrentag“ gelesen hab, ...

hier im süddeutschen Raum kennt man diesen Tag als Christi Himmelfahrt oder eben Vatertag. Von einem langjährigen Freund und Kollegen aus Thüringen habe ich gelernt, dass es dort auch Männertag heißt, egal ob Vater oder nicht.
Wenn der Berliner nun Herrentag sagt ... na gut, warum nicht?

las ich auch „nationale Zahlen“. Zufall?

Keine Ahnung. Aber ich lese beim ersten schnellen Hinsehen auch oft etwas anderes als dasteht. Vor einiger Zeit war ich in der Systemsteuerung von Windows 10 unterwegs, da gibt es einen Punkt Gerätekonformität. Ich hab erst Getränkekonformität gelesen. 😀

Jedenfalls fehlt ein zweites Verb: „für die ... gilt“

Nicht zwingend. Bei großzügiger Betrachtung impliziert das Gleichheitszeichen ein "ist".

Einen schönen Tag noch
 Martin

[Tabellenkalk]

Hallo,

Finde zwei rationale Zahlen a, b < 10, für die a · b = 99.

Bei großzügiger Betrachtung impliziert das Gleichheitszeichen ein "ist".

?
„für die a mal b ist 99“ ist in meinen Ohren auch unvollständig…

Gruß
Kalk

[Der Martin]

Hi,

Finde zwei rationale Zahlen a, b < 10, für die a · b = 99.

Bei großzügiger Betrachtung impliziert das Gleichheitszeichen ein "ist".

„für die a mal b ist 99“ ist in meinen Ohren auch unvollständig…

"für die a mal b gleich 99 ist."

Einen schönen Tag noch
 Martin

[Friedel]

Und worum geht es? Soll man mindestens ein Zahlenpaar finden? Oder möglichst viele? der soll man alle auflisten? Keine der genannten Optionen scheint mir sinnvoll zu sein. Müssen a und b verschieden sein?

[Rolf B]

Hallo Friedel,

für a=b wäre $$a = b = \sqrt{99} \notin \mathbb{Q}$$ (was genau genommen zu beweisen wäre - aber ich meine, es gibt einen allgemeinen Satz, dass die Wurzeln von Nichtquadratzahlen immer irrational sind). Diese Annahme ist also unvernünftig.

Alle Zahlenpaare, die die Aufgabe lösen, kannst Du nicht finden. Es gibt unendlich viele. Ein Pärchen reicht also.

Rolf

[Der Martin]

Hallo Friedel,

Und worum geht es? Soll man mindestens ein Zahlenpaar finden? Oder möglichst viele?

ich verstehe die Aufgabe so, dass man zeigen soll, wie man ein solches Pärchen findet. Die Frage, ob es nur eins gibt oder beliebig viele, klärt sich dabei en passant.

Müssen a und b verschieden sein?

Ja, denn sonst wären a und b jeweils die Quadratwurzel von 99. Und die ist ganz klar nicht rational.

Einen schönen Tag noch
 Martin

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

ich möchte die Aufgabe dahin ergänzt wissen, dass a und b positive rationale Zahlen sein sollen.

Andernfalls biete ich die Lösung meiner Frau an: -9 und -11.

Rolf

[Der Martin]

Hallo,

ich möchte die Aufgabe dahin ergänzt wissen, dass a und b positive rationale Zahlen sein sollen.

Andernfalls biete ich die Lösung meiner Frau an: -9 und -11.

ungeachtet dessen, dass Gunnar vermutlich auch von positiven Zahlen ausging, verleihe ich deiner Frau hiermit die Clever-Medaille. Auf die Idee wäre ich nicht gekommen!

Einen schönen Tag noch
 Martin

[Rolf B]

Hallo Martin,

wir sind halt Männer.

Sich berührungsfrei durch einen Korkenzieher zu denken erfordert dagegen spezielle Talente.

Rolf

[MudGuard]

Hi,

ich möchte die Aufgabe dahin ergänzt wissen, dass a und b positive rationale Zahlen sein sollen.

Andernfalls biete ich die Lösung meiner Frau an: -9 und -11.

ich hab schon um 9:16 Uhr die Lösung -1 und -99 an Gunnar geschickt …

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[Gunnar Bittersmann]

@@MudGuard

ich hab schon um 9:16 Uhr die Lösung -1 und -99 an Gunnar geschickt …

Was mein Gesicht hinter die Handfläche zog. Dass ich daran nicht gedacht hatte. 🤦‍♂️

Aber wie sich zeigt, bin ich ja in guter Gesellschaft. 😉 Oder in schlechter. 😆

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[Mitleser 2.0]

ich hab schon um 9:16 Uhr die Lösung -1 und -99 an Gunnar geschickt …

Was mein Gesicht hinter die Handfläche zog.

Das sei Dir unbenommen.

Zur formulierten Aufgabenstellung ist es aber doch eine korrekte Lösung, oder bin ich jetzt komplett blöd?

Hätte ich in einer Mathearbeit drauf bestanden, dass es dafür volle Punkte gibt.

[Gunnar Bittersmann]

@@Mitleser 2.0

Zur formulierten Aufgabenstellung ist es aber doch eine korrekte Lösung

Ja, natürlich.

oder bin ich jetzt komplett blöd?

Du nicht. Ich – weil ich nicht darauf gekommen bin.

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[Tabellenkalk]

Hallo,

korrekte Lösung,

Ja natürlich!

Natürlich gibt es für die natürlichen Zahlen keine Lösung. Und zwar so offensichtlich, dass mann eben auch keine Lösung für die ganzen Zahlen erwartet…

Gruß
Kalk

[Der Martin]

Hallo Gunnar

(Lösungen wie immer bitte nicht hier posten, sondern per DM (Post) an mich. Ich löse dann in ein paar Tagen auf.)

ist inzwischen schon "in ein paar Tagen"?

Eine Lösung habe ich ja eingereicht - und nicht nur eine Lösung in Form eines spezifischen Zahlenpaares, sondern auch eine Beschreibung der Herangehensweise.

Trotzdem würde mich noch interessieren, wie Mathematik-Affine das lösen würden.

Einen schönen Tag noch
 Martin

[Rolf B]

Hallo Martin,

Trotzdem würde mich noch interessieren, wie Mathematik-Affine das lösen würden.

Wie üblich: Zuerst viel zu kompliziert.

Die elegante Lösung? Weiß der Reiher...

(Vosicht, Osterhase!)

Rolf

[Der Martin]

Hi,

Trotzdem würde mich noch interessieren, wie Mathematik-Affine das lösen würden.

Wie üblich: Zuerst viel zu kompliziert.

vermutlich ja.

Die elegante Lösung? Weiß der Reiher...

Das kannte ich bisher nur als Näherungsverfahren zur Wurzelberechnung durch Näherung mit rationalen Zahlen - und das kommt der Fragestellung ja gefährlich nahe.
Und mein Ansatz war sehr ähnlich, auch wenn es mir nicht bewusst war.

(Vosicht, Osterhase!)

Macht nix, ich mag Eier. Und anders als meine Schwester vertrage ich sie auch. 😉

Einen schönen Tag noch
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Finde zwei rationale Zahlen a, b < 10, für die a · b = 99.

Das erste, was einem bei 99 einfällt, ist wohl 9 · 11. Die 11 ist aber zu groß.

Das zweite, was einem dann einfallen sollte, wäre (−9) · (−11). Das tut es aber nicht allen (incl. mir); @Tabellenkalk hat eine Erklärung geliefert, warum nicht.

Vielleicht war es ja gerade im Sinne der Aufgabe (Quelle), an die negativen Zahlen zu denken.

@Rolf B hat dann auch gleich die Zusatzaufgabe gestellt:

Finde zwei positive rationale Zahlen a, b < 10, für die a · b = 99.

Von 9 · 11 ausgehend muss man die 11 kleiner machen (Faktor k mit 0 < k < 1) und – damit 99 rauskommt – die 9 entsprechend größer machen (Faktor 1/k).

k = ⁹⁄₁₀ geht nicht, weil dann a = 9 · ¹⁰⁄₉ = 10 und damit nicht mehr kleiner als 10 wäre. Damit haben wir ⁹⁄₁₀ als untere Schranke von k.

Die obere Schranke für k ergibt sich aus b < 10 zu ¹⁰⁄₁₁.

@Rolf B meinte zwar: „Alle Zahlenpaare, die die Aufgabe lösen, kannst Du nicht finden.“ Aber hold my beer! Das sind sie alle: {(9/k, 11 · k) | ⁹⁄₁₀ < k < ¹⁰⁄₁₁, k ∈ ℚ}

Oder wie es @Friedel ausdrückte: „a ist eine beliebige rationale Zahl zwischen 9,9 und 10. b ist 99/a.“

@Der Martin und @encoder wählten beispielhaft k = ¹⁰⁰⁄₁₁₁; @Rolf B und ich wählten k = ⁹⁹⁹⁄₁₁₀₀:
$$\frac{999}{100}\cdot\frac{1100}{111}=99=\frac{1100}{111}\cdot\frac{999}{100}$$

---

Aber auch eine andere Überlegung führt zum Ziel. Wie es @Rolf B ausdrückte: „Der einfachste Weg führt zum Zahnarzt: eine Wurzelbehandlung.“

Ohne die Einschränkung auf rationale Zahlen wären zwei Zahlen schnell gefunden: a = b = √99 ≈ 9,94987. Wir suchen nun zwei rationale Zahlen: die eine etwas kleiner als √99, die andere etwas größer.

a = 9,95 = ¹⁹⁹⁄₂₀ scheint ein guter Kandidat zu sein. b = 99/a = ¹⁹⁸⁰⁄₁₉₉ < ¹⁹⁹⁰⁄₁₉₉ = 10.

@Rolf B verwies auch noch darauf, dass auch das Heron-Verfahren zu dieser Lösung führt.

In dem Zusammenhang: Back to the roots – Wurzeln ziehen in CSS.

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[Der Martin]

Moin Gunnar,

Finde zwei rationale Zahlen a, b < 10, für die a · b = 99.

Das erste, was einem bei 99 einfällt, ist wohl 9 · 11. Die 11 ist aber zu groß.

genau so bin ich auch eingestiegen.

Vielleicht war es ja gerade im Sinne der Aufgabe (Quelle), an die negativen Zahlen zu denken.

Kann sein; das ist aber IMO schon ein bisschen "um die Ecke gedacht".

@Rolf B meinte zwar: „Alle Zahlenpaare, die die Aufgabe lösen, kannst Du nicht finden.“ Aber hold my beer! Das sind sie alle: {(9/k, 11 · k) | ⁹⁄₁₀ < k < ¹⁰⁄₁₁, k ∈ ℚ}

Damit hast du sie alle beschrieben. Finden impliziert aber für mich: Jedes mögliche Paar benennen oder aufzählen. Und das ist hier nicht möglich, weil es unendlich viele gibt.

@Rolf B verwies auch noch darauf, dass auch das Heron-Verfahren zu dieser Lösung führt.

Ja, der Reiher führt auch zu möglichen Lösungen, aber "nur" solchen, die als Folge gegen √99 konvergieren. Das ist nur eine kleine Untermenge aller möglichen Lösungen. Die allgemeine Herleitung, wie sie Rolf, Friedel, encoder und ich versucht haben, löst die Aufgabe "umfassender".

Ergänzung: Gerade eben fiel mir noch eine, wie ich finde, wirklich elegante Lösung ein. Die Forderung, das Produkt von a und b soll 99 sein, lässt sich auch als Funktion schreiben:

b = 99 / a

Et voilà, eine Hyperbel. Symmetrisch zur 1. Winkelhalbierenden. Jetzt muss ich nur noch den Wertebereich von a auf ]9, 10[ einschränken, fertig. Durch die Symmetrie (Kommutativgesetz) gilt diese Einschränkung dann automatisch auch für b.

Einen schönen Tag noch
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin

Vielleicht war es ja gerade im Sinne der Aufgabe (Quelle), an die negativen Zahlen zu denken.

Kann sein; das ist aber IMO schon ein bisschen "um die Ecke gedacht".

Nö, das ist eher „das Offensichtliche nicht aus den Augen verlieren“.

@Rolf B meinte zwar: „Alle Zahlenpaare, die die Aufgabe lösen, kannst Du nicht finden.“ Aber hold my beer! Das sind sie alle: {(9/k, 11 · k) | ⁹⁄₁₀ < k < ¹⁰⁄₁₁, k ∈ ℚ}

Damit hast du sie alle beschrieben. Finden impliziert aber für mich: Jedes mögliche Paar benennen oder aufzählen.

Wo machst du jetzt den Unterschied zwischen „beschreiben“ und „benennen“?

Und das ist hier nicht möglich, weil es unendlich viele gibt.

Doch, auch aufzählen ist möglich, weil die rationalen Zahlen abzählbar sind. Mit Auslassungszeichen, versteht sich. So in der Art: 1, 2, 3, …

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[Der Martin]

Hi,

@Rolf B meinte zwar: „Alle Zahlenpaare, die die Aufgabe lösen, kannst Du nicht finden.“ Aber hold my beer! Das sind sie alle: {(9/k, 11 · k) | ⁹⁄₁₀ < k < ¹⁰⁄₁₁, k ∈ ℚ}

Damit hast du sie alle beschrieben. Finden impliziert aber für mich: Jedes mögliche Paar benennen oder aufzählen.

Wo machst du jetzt den Unterschied zwischen „beschreiben“ und „benennen“?

Beschreiben heißt, charakteristische Eigenschaften oder Merkmale zu formulieren. Benennen heißt, wie der Ausdruck schon sagt, namentlich erwähnen.

Und das ist hier nicht möglich, weil es unendlich viele gibt.

Doch, auch aufzählen ist möglich, weil die rationalen Zahlen abzählbar sind. Mit Auslassungszeichen, versteht sich. So in der Art: 1, 2, 3, …

Naja. 🤓

Einen schönen Tag noch
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin

Damit hast du sie alle beschrieben. Finden impliziert aber für mich: Jedes mögliche Paar benennen oder aufzählen.

Wo machst du jetzt den Unterschied zwischen „beschreiben“ und „benennen“?

Beschreiben heißt, charakteristische Eigenschaften oder Merkmale zu formulieren. Benennen heißt, wie der Ausdruck schon sagt, namentlich erwähnen.

Na gut.

Aber finden heißt bei Mathe-Aufgaben immer™: benennen oder beschreiben.

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