Mathematik zum Herrentag – Lösung

[Der Martin]

Moin Gunnar,

Finde zwei rationale Zahlen a, b < 10, für die a · b = 99.

Das erste, was einem bei 99 einfällt, ist wohl 9 · 11. Die 11 ist aber zu groß.

genau so bin ich auch eingestiegen.

Vielleicht war es ja gerade im Sinne der Aufgabe (Quelle), an die negativen Zahlen zu denken.

Kann sein; das ist aber IMO schon ein bisschen "um die Ecke gedacht".

@Rolf B meinte zwar: „Alle Zahlenpaare, die die Aufgabe lösen, kannst Du nicht finden.“ Aber hold my beer! Das sind sie alle: {(9/k, 11 · k) | ⁹⁄₁₀ < k < ¹⁰⁄₁₁, k ∈ ℚ}

Damit hast du sie alle beschrieben. Finden impliziert aber für mich: Jedes mögliche Paar benennen oder aufzählen. Und das ist hier nicht möglich, weil es unendlich viele gibt.

@Rolf B verwies auch noch darauf, dass auch das Heron-Verfahren zu dieser Lösung führt.

Ja, der Reiher führt auch zu möglichen Lösungen, aber "nur" solchen, die als Folge gegen √99 konvergieren. Das ist nur eine kleine Untermenge aller möglichen Lösungen. Die allgemeine Herleitung, wie sie Rolf, Friedel, encoder und ich versucht haben, löst die Aufgabe "umfassender".

Ergänzung: Gerade eben fiel mir noch eine, wie ich finde, wirklich elegante Lösung ein. Die Forderung, das Produkt von a und b soll 99 sein, lässt sich auch als Funktion schreiben:

b = 99 / a

Et voilà, eine Hyperbel. Symmetrisch zur 1. Winkelhalbierenden. Jetzt muss ich nur noch den Wertebereich von a auf ]9, 10[ einschränken, fertig. Durch die Symmetrie (Kommutativgesetz) gilt diese Einschränkung dann automatisch auch für b.

Einen schönen Tag noch
 Martin