Eine Lösung

[JimKnopf]

Moin moin,

Gunnar Bittersmann hat mir vorgeschlagen, meine Lösung hier selbst zu posten - dies ist also nicht die offizielle Lösung. Vermutlich kann man den in der Aufgabenstellung geforderten mathematischen Beweis auf verschiedenen Arten führen. Ich stelle folgenden Weg zur Diskussion:

Zur Erinnerung noch einmal die Aufgabenstellung:

1³ = 1
2³ = 3 + 5
3³ = 7 + 9 + 11

1. Wie lautet die nächste Zeile?
2. Und die nächste? Und die nächste? … Also alle? n³ = ?
3. Beweise 2.

Lösung: Ich betrachte die Summen
$$ s_{n} ≝ {\sum\limits_{i = 1}^{n}\left\lbrack {{n(n - 1)} + 2i - 1} \right\rbrack}\mspace{30mu} $$ für $$ \mspace{5mu} n = 1, 2, 3,... $$

Durch Einsetzen kann man leicht zeigen, dass diese Summen für $$ n = 1 \text{ bis } 3 $$
$$ {n = 1:\mspace{20mu} s_{1} = \left\lbrack {{1 \cdot 0} + 2 - 1} \right\rbrack = 1} $$
$$ {n = 2:\mspace{20mu} s_{2} = \left\lbrack {{2 \cdot 1} + 2 - 1} \right\rbrack + \left\lbrack {{2 \cdot 1} + 4 - 1} \right\rbrack = 3 + 5} $$
$$ {n = 3:\mspace{20mu} s_{3} = \left\lbrack {{3 \cdot 2} + 2 - 1} \right\rbrack + \left\lbrack {{3 \cdot 2} + 4 - 1} \right\rbrack + \left\lbrack {{3 \cdot 2} + 6 - 1} \right\rbrack = 7 + 9 + 11} $$
gerade die rechten Seiten der Aufgabenstellung ergeben.

Aber sind das auch für $$ n $$ ≥ 4 gerade die Kubikzahlen? In der Definitionsgleichung für $$ s_{n} $$ darf man die Summation für die drei Summanden in der eckigen Klammer auch separat durchführen:
$$ s_{n} = {\sum\limits_{i = 1}^{n}n}{({n - 1})} + {\sum\limits_{i = 1}^{n}2}i - {\sum\limits_{i = 1}^{n}1} $$
Einen nicht vom Laufindex $$ i $$ abhängigen (konstanten) Faktor darf man vor das Summenzeichen ziehen:
$$ s_{n} = n{{({n - 1})} \cdot {\sum\limits_{i = 1}^{n}1}} + {2 \cdot {\sum\limits_{i = 1}^{n}i}} - {\sum\limits_{i = 1}^{n}1} $$
Mit der trivialen Beziehung
$$ {\sum\limits_{i = 1}^{n}1} = n $$
und der Gaußschen Summenformel für die arithmetische Reihe der ersten $$ n $$ natürlichen Zahlen
$$ {\sum\limits_{i = 1}^{n}i} = \frac{1}{2}{n{({n + 1})}} $$
(siehe z.B. Wikipedia: Gaußsche Summenformel) erhält man schließlich
$$ {s_{n} = n{{({n - 1})} \cdot n} + {2 \cdot \frac{1}{2}}{n{({n + 1})}} - n} $$
$$ {\mspace{22mu} = {n^{3} - n^{2}} + {n^{2} + n} - n} $$
$$ {\mspace{22mu} = n^{3}} $$

Damit ist
$$ n^{3} = {\sum\limits_{i = 1}^{n}\left\lbrack {n{{({n - 1})} + 2}{i - 1}} \right\rbrack}\mspace{30mu} $$ für alle ganzzahligen $$ \mspace{5mu} n \geq 1 $$
bewiesen und die Aufgabenteile 2 und 3 sind gelöst. Teil 2 lässt sich auch etwas umgangssprachlicher fassen:

Für ein ganzzahliges $$ n $$ ≥ 1 lässt sich die Kubikzahl $$ n^{3} $$ als eine Summe von $$ n $$ aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen darstellen, wobei die Summanden zur Darstellung von $$ 1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, ... $$ eine fortlaufende und lückenlose Folge, beginnend mit 1 für $$ 1^{3} $$, bilden.

Fehlt noch Aufgabenteil 1. Für $$ n $$ = 4 liefert die Formel:
$$ 4^{3} = \left\lbrack {{4 \cdot 3} + 2 - 1} \right\rbrack + \left\lbrack {{4 \cdot 3} + 4 - 1} \right\rbrack + \left\lbrack {{4 \cdot 3} + 6 - 1} \right\rbrack + \left\lbrack {{4 \cdot 3} + 8 - 1} \right\rbrack \\\ \mspace{11mu} = 13 + 15 + 17 + 19 = 64 \mspace{10mu} ✓ $$

Anmerkung: Ich finde diesen Zusammenhang zwischen Kubikzahlen und fortlaufenden ungeraden Zahlen bemerkenswert. Für Quadratzahlen gibt es etwas ganz Ähnliches:
$$ {1^{2} = 1} $$
$$ {2^{2} = 1 + 3} $$
$$ {3^{2} = 1 + 3 + 5} $$
$$ {n^{2} = {\sum\limits_{i = 1}^{n}{(2i - 1)}}} \mspace{30mu} $$ für $$ \mspace{5mu} n = 1, 2, 3,... $$

Kennt jemand einen entsprechenden Zusammenhang zwischen vierten Potenzen $$ n^{4} $$ und ungeraden Zahlen? Ich vermute, dass so etwas existieren könnte.

Gruß... JimKnopf