Mathematik zum Wochenende – Lösung

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Na dann warte ich noch ein wenig mit der Auflösung.

So, genug gewartet. @encoder sollte die Lösung inzwischen gefunden haben – sie geht genauso wie seine/ihre Lösung vom Februar:

Wir zerlegen das Quadrat EBFG mit Parallelen zu AB und AD in 4 Dreiecke und ein Quadrat.

Mit AB = 4 und AE = a ergibt sich für den Flächeninhalt von EBFG:
17 = 4 × ½ × 4a + (4 − a)² = 8a + 16 − 8a + a²
17 = 16 + a²

Das ist genau das, was einem mit Pythagoras auch ins Auge springt, nur eben ohne.

AE = a = 1.

Analog lässt sich so über den Flächeninhalt von AHKL auch BH = b bestimmen:

20 = 4 × ½ × 4b + (4 − b)² = 8b + 16 − 8b + b² = 16 + b²
BH = b = 2

Darauf kommt man aber auch über EB = EH wegen der Flächengleichheit von EBFG und EHIJ.

S Schnittpunkt von AH und EB;
M, N Fußpunkte der Lote von S auf AE und BH

Die Dreiecke SEA und SBH sind änhlich. (Die Innenwinkel sind Scheitelwinkel bzw. Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen.)

SM : SN = AE : BH = 1 : 2, wegen SM + SN = 4 ist SM = ⁴⁄₃

Flächeninhalt von SEA ist ½ × 1 × ⁴⁄₃ = ⅔, Flächeninhalt von SBH ist 4mal so groß.

Die gesuchte Differenz der Flächen ist demnach 3 × ⅔ = 2.

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Zusatzaufgaben: Wir legen ein Koordinatensystem so, dass A im Ursprung liegt und D(0, 4) ist.

Dann ist E(0, 1) und G(1, 5) sowie H(4, 2) und I(3, 6), K(2, 6), L(−2, 4).

Man sieht, dass D, G und K auf einer Linie liegen und dass DG = GK ist.

Die Gerade GI hat den Anstieg ½, ebenso wie die Gerade LK, sie sind also parallel.

Hat jemand eine Lösung ohne Rechnen mit Koordinaten, sondern rein geometrisch?

LLAP 🖖