Und was Kleines zum Dessert

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

Zwei Vierecke haben dieselben Diagonalen. Eine Diagonale hat in beiden Vierecken die Länge e, die andere hat in beiden Vierecken die Länge f. Im ersten Viereck schneiden sich die Diagonalen unter einem Winkel von 30°, im zweiten stehen sie senkrecht aufeinander. Wie groß ist das Verhältnis der Flächeninhalte der beiden Vierecke?

Bis demnächst
Matthias

[MudGuard]

Hi,

Zwei Vierecke haben dieselben Diagonalen. Eine Diagonale hat in beiden Vierecken die Länge e, die andere hat in beiden Vierecken die Länge f. Im ersten Viereck schneiden sich die Diagonalen unter einem Winkel von 30°, im zweiten stehen sie senkrecht aufeinander.

Also doch nicht dieselben Diagonalen, sondern nur Diagonalen derselben Länge …

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[Matthias Apsel]

Hallo MudGuard,

aber eine kann dieselbe sein. 🤣

Bis demnächst
Matthias

[Der Martin]

Hallo Matthias,

Zwei Vierecke haben dieselben Diagonalen. Eine Diagonale hat in beiden Vierecken die Länge e, die andere hat in beiden Vierecken die Länge f. Im ersten Viereck schneiden sich die Diagonalen unter einem Winkel von 30°, im zweiten stehen sie senkrecht aufeinander. Wie groß ist das Verhältnis der Flächeninhalte der beiden Vierecke?

innerhalb weniger Sekunden glaube ich, die richtige Lösung zu kennen. Aber als bekennender Mathematik-Muffel kann ich sie nicht wirklich schlüssig herleiten.

Jedenfalls brauche ich eine Kombination von elementarer Geometrie und einer winzigen Prise Trigonometrie. Bin ich damit möglicherweise auf dem richtigen Weg?

Live long and pros healthy,
 Martin

[Rolf B]

Hallo Martin,

klingt gut.

Ich hab mehr als ein paar Sekunden gebraucht weil ich mir ein Bildchen malen musste. Klassenhierarchien visualisiere ich im Kopf, aber Mathe nicht.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Ich hab mehr als ein paar Sekunden gebraucht weil ich mir ein Bildchen malen musste. Klassenhierarchien visualisiere ich im Kopf, aber Mathe nicht.

Ich bin diesmal ohne Bild ausgekommen. 🤓

Ich war unterwegs, da kam ich gar nicht in Versuchung zu malen, sondern musste mir das vorstellen. Hat sogar geklappt.

😷 LLAP

[Der Martin]

Hallo Rolf,

Klassenhierarchien visualisiere ich im Kopf, aber Mathe nicht.

mit Objekt- und Klassenhierarchien habe ich wiederum Mühe (eine Skizze ist da sehr hilreich). Dafür kann ich mir zeitlich-kausale Abfolgen von Ereignissen recht gut vorstellen.
Oder das Zusammenwirken von mehreren digitalen Signalen in einer Logikschaltung (analog dazu einen komplexen boolschen Ausdruck).

Dafür fällt es mir schwer, mir die Nebenläufigkeit von mehreren Prozessen mit ihren Wechselwirkungen vorzustellen.

Live long and pros healthy,
 Martin

[Matthias Apsel]

Hallo Der Martin,

Jedenfalls brauche ich eine Kombination von elementarer Geometrie und einer winzigen Prise Trigonometrie. Bin ich damit möglicherweise auf dem richtigen Weg?

Ich würde sagen, eine Kombination von (etwas mehr als) elementarer Geometrie und Algebra. Ich weiß nicht so genau, wo die elementare Geometrie aufhört.

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Matthias,

Ich weiß nicht so genau, wo die elementare Geometrie aufhört.

Mutmaßlich an den Kanten des Vierecks.

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

wahrscheinlich kennt jeder noch die Formel für den Flächeninhalt eines Drachenvierecks^[1]: $$\mathrm{A} = \frac{1}{2}ef$$. @Der Martin hat das schön visualisiert.

Und dann fragt man sich vielleicht, ob diese Gleichung verallgemeinerbar ist. Antwort: Ja, ist sie $$\mathrm{A} = \frac{1}{2} e f \sin\varepsilon$$.

Der Beweis ist wirklich einfach^[2] und wird dem Leser als Fingerübung überlassen.

Damit ist das gesuchte Verhältnis 1 : 2. Richtige Lösungen gab es von @Gunnar Bittersmann, @Rolf B, @Tabellenkalk und dem schon genannten Martin.

Bis demnächst
Matthias

---

1. Wir hatten hier auch schon die Diskussion, ob ein Drachenviereck zwingend symmetrisch sein muss. ↩︎

2. Einfach die Flächeninhalte der vier entstehenden Dreiecke berechnen. ↩︎

[Der Martin]

Hallo Matthias,

wahrscheinlich kennt jeder noch die Formel für den Flächeninhalt eines Drachenvierecks: $$\mathrm{A} = \frac{1}{2}ef$$.

ich kannte sie nicht, sondern habe sie anhand der Skizze erkannt. Allerdings gilt diese Formel sogar für beliebige Vierecke, deren Diagonalen einen rechten Winkel bilden. Also auch für Vierecke, bei denen eine Ecke "nach innen" gerichtet ist.

@Der Martin hat das schön visualisiert.

Danke für die Blumen.

Und dann fragt man sich vielleicht, ob diese Gleichung verallgemeinerbar ist. Antwort: Ja, ist sie $$\mathrm{A} = \frac{1}{2} e f \sin\varepsilon$$.

Da ich eben für den Spezialfall schon die Einschränkung auf Drachenvierecke eliminiert habe, kann man das hier vermutlich auch.

Ach ja: Nach meinem Verständnis hat ein Drachenviereck symmetrisch zu sein. Ich weiß aber nicht, ob die geometrische Definition das fordert. Ich habe die Skizze bewusst unsymmetrisch gezeichnet, damit ich mich nicht zu falschen Schlussfolgerungen verleiten lasse.

Live long and pros healthy,
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

Einfach die Flächeninhalte der vier entstehenden Dreiecke berechnen.

Zwei reichen auch:

😷 LLAP

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

Einfach die Flächeninhalte der vier entstehenden Dreiecke berechnen.

Zwei reichen auch:

Das ist ja schon wieder mit Clevernis verbunden.

Bis demnächst
Matthias

[ottogal]

Zwei reichen auch:

Oder eins:
(Dreieck BED; vorausgesetzt ist BE || AC)

[Zähler]

Einfach die Flächeninhalte der vier entstehenden Dreiecke berechnen.

Zwei reichen auch:

Oder eins:

Du meinst keins. 😂

(Dreieck BED; vorausgesetzt ist BE || AC)

VG
Zähler

[ottogal]

Du meinst keins. 😂

1 : 0

👍