Mathematik zum Wochenende – Lösung und Zusatzaufgabe

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Der Lösung vertraue ich also noch nicht.

Ich finde Gunnars Lösung auch zu flapsig. Gerade mit solchen scheinbar unendlichen Termen passieren schnell Fehler, wenn man sie nicht ordentlich aufschreibt. Da fällt mir dieses Video zu ein, in dem angeblich bewiesen wird, dass die Summe aller natürlichen Zahlen -1/12 ergibt.

Ich habe deshalb erstmal versucht die Formel in eine geschlossene Form zu bringen und von da aus weiter zu arbeiten. Meine Beweisskizze ist aber am Ende auch noch sehr wacklig.

1. $$\qquad \lim_{n \to \infty}(^nx) = 2\qquad$$ wobei $$x \in \mathbb{R}_{\geq0}\qquad$$ $$^nx$$ ist die Tetration.
2. $$\qquad \lim_{n \to \infty}(x^{^{n-1}x}) =2\qquad$$ per Definition der Tetration
3. $$\qquad x^{\lim_{n \to \infty}(^{n-1}x)}=2\qquad$$ Limes von Exponential-Funktionen
4. $$\qquad x^{\lim_{n \to \infty}(^{n}x)}=2\qquad$$ für hinreichend große n
5. $$\qquad x^{2} = 2\qquad$$ Einsetzen von (1)
6. $$\qquad x = \sqrt 2$$