Mathematik zum Wochenanfang

[ottogal]

Hallo in die Runde,

wieder mal eine typische Aufgabe von Catriona Agg (https://twitter.com/Cshearer41):

Typisch die lockere Handzeichnung, typisch die eine ganzzahlige Maßangabe, typisch die lakonische Formulierung der Aufgabenstellung...

Auf deutsch:
Der größte und der kleinste Halbkreis haben den selben Mittelpunkt.
Wie groß ist die eingefärbte Fläche?

(Wer glaubt, es fehlten Voraussetzungen, der irrt.)

Viele Grüße
ottogal

[Rolf B]

Hallo ottogal,

hat die NASA mit Artemis danebengeschossen oder warum ist der arme Halbmond so verbeult?!

Rolf

[Tabellenkalk]

Hallo,

(Wer glaubt, es fehlten Voraussetzungen, der irrt.)

Naja, aber irgendeinen Zusammenhang zwischen Zahl und Figur sollte man schon angeben. Einen rechten Winkel zwischen roter und blauer Linie kann man hier zwar als gegeben vermuten, aber diese Voraussetzung fehlt hier imho…

Gruß
Kalk

[Rolf B]

Hallo Tabellenkalk,

Wäre es kein rechter Winkel müsste es eine Angabe geben um ihn zu bestimmen.

Also...

Rolf

[Tabellenkalk]

Hallo,

Wäre es kein rechter Winkel müsste es eine Angabe geben um ihn zu bestimmen.

Also...

... also fehlen Voraussetzungen!?
Meinem halbblinden Augenschein nach könnte die rote Linie tatsächlich waagerecht sein, die blaue ist aber sicher nicht senkrecht.

Gruß
Kalk

[ottogal]

Was sollte denn hier die rote Strecke anderes sein als orthogonal zu den Halbkreis-Durchmessern? Ohne diese Voraussetzung ist die Aufgabe natürlich unlösbar.
(Aber welchen Sinn macht es denn, das zu bemängeln, statt dann seine Zeit eben mit etwas anderem zu verbringen?)

Darin liegt ja gerade der Charme dieser Art Aufgaben: Obwohl die Zeichnung nicht exakt ist und einige Voraussetzungen unausgesprochen bleiben, weiß doch eigentlich jede(r), was gemeint ist. Und das erlaubt eben die knappe Fragestellung.

Das ist übrigens durchaus übliche "Mathe-Denke": offensichtlich gemeinte Fakten als "trivial" unerwähnt zu lassen (oder unbewiesen zu verwenden).

Das war schon immer so; etwa auch in diesem byzantinischen Papyrus mit den recht unpräzisen Zeichnungen:

(Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras)

[Tabellenkalk]

Hallo,

Das ist übrigens durchaus übliche "Mathe-Denke": offensichtlich gemeinte Fakten als "trivial" unerwähnt zu lassen (oder unbewiesen zu verwenden).

Dann haben wir unterschiedliche Auffassung von Mathe-Denke. Für mich wäre Mathe-Denke als "So genau wie nötig" in vier Worten zusammengefasst…

Gruß
Kalk

[Rolf B]

Hallo Tabellenkalk,

"So genau wie nötig"

Ja. Und das ist hier erfüllt.

Offenbar kommen viele Menschen mit Catrionas Stil zurecht. Die Aufgaben sind vertrackt, aber lösbar. Und die Skizze ist hinreichend genau, um zu wissen, was gemeint ist. Die Betonung liegt hier auf Skizze. Das Bild ist keine exakte Zeichnung und will das auch gar nicht sein.

Daher erlaube ich mir die Frage, ob das Problem in der Aufgabe liegt. Oder in deiner mangelnden Bereitschaft, Fünfe gerade sein zu lassen und mit etwas Kreativität die beabsichtigte Fragestellung herauszufinden. Wie - meine ich - Gunnar schon mal sagte: Das kann durchaus Teil der Aufgabe sein.

Rolf

[Tabellenkalk]

Hallo,

Daher erlaube ich mir die Frage, ob das Problem in der Aufgabe liegt. Oder in deiner mangelnden Bereitschaft, Fünfe gerade sein zu lassen und mit etwas Kreativität die beabsichtigte Fragestellung herauszufinden. Wie - meine ich - Gunnar schon mal sagte: Das kann durchaus Teil der Aufgabe sein.

Nachdem ich grade meine Lösung an Ottogal gesendet habe, kann ich dir diese Frage mit einem ganz entschiedenen „Vielleicht“ beantworten…

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@Tabellenkalk

Naja, aber irgendeinen Zusammenhang zwischen Zahl und Figur sollte man schon angeben. Einen rechten Winkel zwischen roter und blauer Linie kann man hier zwar als gegeben vermuten, aber diese Voraussetzung fehlt hier imho…

Nö. Es wird deutlich, dass „2“ der Abstand von der blauen Linie ist. Und den Abstand von einer Linie misst man – tada! – rechtwinklig zu dieser.

🖖 Живіть довго і процвітайте

[Friedel]

Und auf welcher Seite von der roten Linie soll der rechte Winkel sein?

„So genau wie nötig“ und „So genau, dass ICH weiß, worum es geht“, sind 2 sehr verschiedene Aussagen. Bei dieser Aufgabe habe ich, im Gegensatz zur letzten, verstanden was gemeint ist. Allerdings ist mir nicht klar, ob auch, „Wer glaubt, es fehlten Voraussetzungen, der irrt“, Bestandteil der Aufgabenstellung ist. Wenn ich weiß, dass es genau eine Lösung gibt, kann ich die Aufgabe lösen. Allerdings habe ich (noch?) keine Idee, wie ich beweisen kann, dass es genau eine Lösung gibt.

[Rolf B]

Hallo Friedel,

Und auf welcher Seite von der roten Linie soll der rechte Winkel sein?

Scherzkeks. Antwort: Drüber UND drunter. Weil es Ergänzungswinkel sind.

Oder meinst du: auf der linken oder rechten Seite? Auf der linken Seite ist es wohl offensichtlich keiner. Oder nur dann, wenn der kleine Halbkreis den Radius 0 hat und die Zeichnung zu Ying-Yang entartet. (Siehe Geogebra-Konstrukt - verschiebe Punkt P, aber bleibe damit über M. Und versuche nicht, die Fläche mit Geogebra zu bestimmen. Mir scheint, bei Halbkreisen hat das Ding üble Bugs. Oder ich bin zu blöd.)

Was ich in die Zeichnung hineingedeutet habe, ist, dass die rote Linie auf einer Tangente zu dem "mittelgroßen" Halbkreis auf der rechten Seite liegt. Dadurch ist sie automatisch orthogonal zur eingezeichneten Vertikalen und steht logischerweise nicht senkrecht auf dem Kreisumfang des großen Halbkreises.

Allerdings ist mir nicht klar, ob auch, „Wer glaubt, es fehlten Voraussetzungen, der irrt“, Bestandteil der Aufgabenstellung ist.

Das dürfte eine Ottogalsche Ergänzung sein, um Rückfragen abzuwimmeln.

Die Eindeutigkeit der Lösung ergibt sich aus der Konstruktion, dafür brauchst Du keinen Hinweis auf Eindeutigkeit.

Manchmal scheint es mir aber, dass einige Unklarheiten, über die hier geschimpft wird, durch eingerostetes mathematisches Verständnis hervorgerufen werden. Und einiges erklärt sich dann auch beim Nachdenken über die gezeigte Konstruktion von selbst.

Rolf

[Tabellenkalk]

Hallo,

Manchmal scheint es mir aber, dass einige Unklarheiten, über die hier geschimpft wird, durch eingerostetes mathematisches Verständnis hervorgerufen werden.

Ne. Das ist kein Geschimpfe über Unklarheiten. Es ist Manifestation der menschlichen Faulheit. Wenn nachgewiesen ist, dass die Aufgabe wegen Unvollständigkeit nicht lösbar ist, kommt man drum rum, nach der Lösung zu suchen…

Gruß
Kalk

[Der Martin]

n'Abend,

Manchmal scheint es mir aber, dass einige Unklarheiten, über die hier geschimpft wird, durch eingerostetes mathematisches Verständnis hervorgerufen werden.

Ne. Das ist kein Geschimpfe über Unklarheiten. Es ist Manifestation der menschlichen Faulheit. Wenn nachgewiesen ist, dass die Aufgabe wegen Unvollständigkeit nicht lösbar ist, kommt man drum rum, nach der Lösung zu suchen…

dabei geht das doch noch viel einfacher: Aufgabe lesen, ein paar Minuten dran knobeln, dann mit den Schultern zucken (optional vor sich hinbrummeln: "Ach, rutsch mir'n Buckel runter") und den Thread ignorieren. Eventuell nach Veröffentlichung der Lösung nochmal reinschauen und feststellen, dass einem da bestimmte Vorkenntnisse gefehlt hätten. Oder auch nicht, das kann auch ein Alibi sein.

Das ist jedenfalls das Fazit, das ich bei dieser Aufgabe für mich gezogen habe.

Einen schönen Tag noch
 Martin

[Friedel]

Ich habe bisher keinen Zusammenhang erkannt, nachdem sich eine Eindeutigkeit der Lösung ergibt. Ich kann also weiter nur angeben, wie groß die Fläche ist, wenn sie eindeutig bestimmt ist.

[Rolf B]

Hallo Friedel,

Spoilerwarnung - ggf. weggucken...

Die Aufgabe sagt: der kleine Halbkreis und der große Halbkreis sind konzentrisch.

Wenn Du also mit dem kleinen Halbkreis anfängst, erhältst Du den Punkt, von dem die rote Linie nach links geht. Am Endpunkt dieser Linie bist Du auf dem Umfang des großen Halbkreises. Du hast nun also den Mittelpunkt des großen Halbkreises und einen Punkt auf seinem Umfang. Damit kannst Du den großen Halbkreis zeichnen und der Rest folgt von allein. Gelle?

Rolf

[Friedel]

Jetzt kann ich mir überlegen, wie mir dein Spoiler hilft. Der nützt mir nämlich bisher nichts.

[Rolf B]

Hallo Friedel,

er sollte lediglich zeigen, dass die Konstruktion eindeutig und wohldefiniert ist - aus dem Radius $$r_1$$ des kleinen Halbkreises folgt der Rest. Damit hast Du zwei bekannte Werte: die 2 und $$r_1$$, und musst eine Formel finden, die diese Eingabewerte nutzt und die Fläche ausspuckt. Ich bin sicher, dass Deine Lösung ähnlich entstanden ist. Wenn nicht, bin ich sehr gespannt darauf 😉

Rolf

[Tabellenkalk]

Hallo,

Jetzt kann ich mir überlegen, wie mir dein Spoiler hilft. Der nützt mir nämlich bisher nichts.

Ich spoiler auch mal:

• Dritte Binomische Formel,
• Thalessatz,
• Euklidischer Höhensatz.

Mindestens eins von den dreien ist hier nützlich

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@Tabellenkalk

Ich spoiler auch mal:

• Dritte Binomische Formel,
• Thalessatz,
• Euklidischer Höhensatz.

Mindestens eins von den dreien ist hier nützlich

In meiner Lösung keins von den dreien.

🖖 Живіть довго і процвітайте

[Rolf B]

Hallo Tabellenkalk,

mir hat die Flächenformel für Kreise und der Satz von Pythagoras gereicht.

Und das Distributivgesetz als Bonus, um nicht so viel $$\pi\pi$$ machen zu müssen…

Rolf

[Tabellenkalk]

Hallo,

Na prima, kaum kommt der Gunnar vorbei, attestiert er mir direkt mein Brett vorm Kopf…

🤪

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@Tabellenkalk

Na prima, kaum kommt der Gunnar vorbei, attestiert er mir direkt mein Brett vorm Kopf…

Wenn’s so gesägt ist, dass es rechte Winkel hat, könnte es bei der Lösung der Aufgabe hilfreich sein. 🤪

🖖 Живіть довго і процвітайте

[ottogal]

Dank an alle, die mitgedacht haben...

Sei $$r$$ der kleinste der Halbkreisradien, $$R$$ der größte.

Natürlich hängt $$R$$ von $$r$$ ab: Wegen der Voraussetzung $$CD = 2$$ gilt

$$R² - r² = 4$$.

Dies ergibt sich etwa im $$\triangle{CMD}$$ nach Pythagoras.

Oder man betrachtet $$\triangle{ABC}$$:
Da $$AB$$ Kreisdurchmesser ist, ist $$\angle{ACB}$$ ein rechter Winkel; der Höhensatz liefert $$CD² = AD \cdot DB$$, also $$4 = (R + r)(R - r) = R² - r²$$.

Für die gesuchte Fläche kann man die beteiligten Halbkreisflächen berechnen, Differenzen davon bilden und addieren. Man erhält so

$$\frac{\pi}{2} (R² - r²)$$, also $$\frac{\pi}{2} \cdot 4 = 2 \pi$$.

Es geht auch etwas eleganter:

Man dreht den dunkler gefärbten Teil der Figur um 180° um den Mittelpunkt M und erhält zusammen mit dem helleren Teil einen halbierten Kreisring, dessen Fläche gleich der der ursprünglichen Figur ist.
Also beträgt sie

$$\frac{1}{2} (\pi R² - \pi r²) = \frac{\pi}{2} (R² - r²) = 2 \pi$$.

Interessant an dem Ergebnis ist, dass es nicht vom Wert von $$r$$ (bzw $$R$$) abhängt:

https://www.geogebra.org/m/ek97rmtc

In diesem Geogebra-Blatt kann man den gemeinsamen Mittelpunkt (grün) auf der Vertikalgeraden verschieben (sogar über die rote Strecke hinaus) - der Flächeninhalt der blau umrandeten Figur bleibt stets gleich...

Richtige Lösungen haben (bisher) @Rolf B , @Gunnar Bittersmann , @Tabellenkalk und @encoder mitgeteilt.

[Rolf B]

Hallo ottogal,

Man dreht den dunkler gefärbten Teil der Figur um 180° um den Mittelpunkt M

😲

Wieso komm ich darauf nicht? Dass sich das heraushebt, habe ich ja auch in meiner Rechnung gehabt. Manno.

Aber jetzt weiß ich wenigstens, woher die Idee mit Thales und 3. Binom kam. Der Höhensatz ist einer von denen, die ich gerne vergesse 😉

Rolf

[Friedel]

Ich bin genau da drauf gekommen. Aber dieser Schritt, „$$\frac{\pi}{2} (R² - r²) = 2 \pi$$“, war mir nicht klar und er ist es immer noch nicht. “

[Der Martin]

Hallo,

Ich bin genau da drauf gekommen. Aber dieser Schritt, „$$\frac{\pi}{2} (R² - r²) = 2 \pi$$“, war mir nicht klar und er ist es immer noch nicht.

soweit ich verstanden habe, gilt r²+2²=R² (Pythagoras), daraus folgt R²-r²=4.

Einen schönen Tag noch
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin

soweit ich verstanden habe, gilt r²+2²=R² (Pythagoras), daraus folgt R²-r²=4.

Aua! Ich erwarte nun nicht unbedingt, dass Variablenbezeichner kursiv gesetzt werden. Aber könntest du nicht wenigstens das Minuszeichen verwenden, wenn es schon angeboten wird?

🖖 Живіть довго і процвітайте

[Der Martin]

Hallo,

soweit ich verstanden habe, gilt r²+2²=R² (Pythagoras), daraus folgt R²-r²=4.

Aua! Ich erwarte nun nicht unbedingt, dass Variablenbezeichner kursiv gesetzt werden.

nein, ich auch nicht. Wenn überhaupt irgendwas, würde ich höchstens die Bezeichner von Funktionen oder spezielle Symbole wie π oder e kursiv setzen. Aber selbst da: Wozu?

Aber könntest du nicht wenigstens das Minuszeichen verwenden, wenn es schon angeboten wird?

Das Minus ist ein so elementares Symbol, dass ich es auf jeden Fall aus dem ASCII-Zeichenvorrat nehme. Und es taugt je nach Kontext auch als Bindestrich oder Gedankenstrich. Weitere Verwendungszwecke nicht ausgeschlossen.

Einen schönen Tag noch
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin

Ich erwarte nun nicht unbedingt, dass Variablenbezeichner kursiv gesetzt werden.

Wozu?

Ist so üblich.

Und wenn man Formeln in LaTeX setzt, kommen auch kursive Variablenbezeichner bei raus^[1]:

R^2-r^2=4 → $$R^2-r^2=4$$

Und auch richtige Minuszeichen!

Das Minus ist ein so elementares Symbol, dass ich es auf jeden Fall aus dem ASCII-Zeichenvorrat nehme.

Ist dann halt Kacke:

vs. (Screeshots aus deinem und meinem Posting)

Und [das ASCII-Zeichen ‚-‘] taugt je nach Kontext auch als Bindestrich

Ja.

oder Gedankenstrich.

Nein. Nein. NEIN.

🖖 Живіть довго і процвітайте

---

1. Weshalb man bei Logarithmus, Winkelfunktionen usw. (die nicht kursiv gesetzt werden) nicht einfach ln a → $$ln a$$ schreiben darf, sondern \ln a → $$\ln a$$ ↩︎

[Der Martin]

Hallo,

Ich erwarte nun nicht unbedingt, dass Variablenbezeichner kursiv gesetzt werden.

Wozu?

Ist so üblich.

dieses "ist so üblich" ist bisher nie an mich herangetreten. Wenn ich Formeln per Hand schreibe, benutze ich ja auch keine Kursivschrift.

Das Minus ist ein so elementares Symbol, dass ich es auf jeden Fall aus dem ASCII-Zeichenvorrat nehme.

Ist dann halt Kacke:

Nö.

vs. (Screeshots aus deinem und meinem Posting)

Die linke Variante könnte man noch mit Leerzeichen um die Operatoren aufhübschen.
Ansonsten: Perfekt. Die Kursivschrift irritiert eher. Sie suggeriert irgendwas Besonderes.

Einen schönen Tag noch
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin

dieses "ist so üblich" ist bisher nie an mich herangetreten.

Hm, du hast noch nie ein Mathebuch in der Hand gehabt? Oder ein Elektrotechnikbuch?

vs. (Screeshots aus deinem und meinem Posting)

Die linke Variante könnte man noch mit Leerzeichen um die Operatoren aufhübschen.

Ja.

Ansonsten: Perfekt.

Nein. Links ist ein kleiner Farbklecks; rechts ein Minuszeichen der richtigen Breite (genauso breit wie ein Pluszeichen).

Die Kursivschrift irritiert eher.

Nun ja, es ging hier auch eher um das Minuszeichen.

Sie suggeriert irgendwas Besonderes.

Variablenbezeichner sind ja auch etwas Besonderes. Deshalb werden sie per Browserdefault ja auch kursiv gesetzt. Guckst du.

🖖 Живіть довго і процвітайте

[Der Martin]

Hi,

dieses "ist so üblich" ist bisher nie an mich herangetreten.

Hm, du hast noch nie ein Mathebuch in der Hand gehabt? Oder ein Elektrotechnikbuch?

zuletzt vor über 25 Jahren.

vs. (Screeshots aus deinem und meinem Posting)

Die linke Variante könnte man noch mit Leerzeichen um die Operatoren aufhübschen.

Ja.

Ansonsten: Perfekt.

Nein. Links ist ein kleiner Farbklecks; rechts ein Minuszeichen der richtigen Breite (genauso breit wie ein Pluszeichen).

Ist es ja auch: - +

Die Kursivschrift [...] suggeriert irgendwas Besonderes.

Variablenbezeichner sind ja auch etwas Besonderes.

Nö. Sie sind (neben Konstanten) eher die Regel. Funktionen sind etwas Besonderes.

Deshalb werden sie per Browserdefault ja auch kursiv gesetzt. Guckst du.

Dann sollte man das wohl vor Gebrauch reparieren. Oder gar nicht benutzen (das var-Element hab ich tatsächlich noch nie verwendet).

Einen schönen Tag noch
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin

Nein. Links ist ein kleiner Farbklecks; rechts ein Minuszeichen der richtigen Breite (genauso breit wie ein Pluszeichen).

Ist es ja auch: - +

Miss nochmal nach:

(gerendert in Proportionalschrift, hier Source Sans Pro)

[Variablenbezeichner] sind (neben Konstanten) eher die Regel. Funktionen sind etwas Besonderes.

Wie dem auch sei, es ist üblich, Variablenbezeichner kursiv zu setzen; Konstanten wie e und i gerade. Funktionsbezeichner wie f kursiv; mehrbuchstabige Bezeichner wie ln, sin, lim gerade, ebenso den Differentialoperator d:

∫ sin x dx = −cos x + C

Dann sollte man das wohl vor Gebrauch reparieren.

Man muss nichts reparieren, was nicht kaputt ist.

Oder gar nicht benutzen (das var-Element hab ich tatsächlich noch nie verwendet).

Man schreibt auch selten Formeln auf Webseiten. Und wenn, dann eher in MathML (oder etwas, woraus MathML generiert wird).

🖖 Живіть довго і процвітайте

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

Wie dem auch sei, es ist üblich, Variablenbezeichner kursiv zu setzen (...)

Das Schlüsselwort in diesem Satz ist: Setzen.

Dies ist ein Forum mit einfach getippten Forenbeiträgen. Niemand, außer Dir, erwartet, dass sie für repräsentativen Buchdruck mit handgefeilten Bleilettern und kalligraphischen Initialen gesetzt werden. Du persönlich kannst das gerne weiterhin so tun.

Und wenn jemand x²+y²-5=-1 schreibt, dann rollen sich möglicherweise Deine Fußnägel auf, aber wir anderen wissen trotzdem, was gemeint ist und müssen nicht die Mathe-Erweiterung oder Unicode-Tabellen bemühen, um ein druckreifes $$x^2+y^2-5=-1$$ zu erzeugen (hoffentlich ist es das jetzt auch - ich vertraue auf die $$ Erweiterung...). Ja, ich weiß, du bemühst vermutlich dafür deine drölffach belegte Mac-Tastatur.

Darüber immer wieder neu zu diskutieren, ist... ermüdend 😴. Könnten wir das bitte lassen?

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

… und müssen nicht die Mathe-Erweiterung oder Unicode-Tabellen bemühen

Richtig, das müssen wir nicht. Sondern einfach nur das, was die CForum-Software automatisch anbietet. Darum ging es. Und aus einem automatisch erscheinenden Auswahlmenü das richtige Zeichen auszuwählen ist nun nicht zuviel verlangt.

🖖 Живіть довго і процвітайте

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Und [das ASCII-Zeichen ‚-‘] taugt je nach Kontext auch als Bindestrich oder Gedankenstrich.

Nein. Nein. NEIN.

Symbolbild

🖖 Живіть довго і процвітайте

[Gunnar Bittersmann]

@@Friedel

Ich bin genau da drauf gekommen. Aber dieser Schritt, „$$\frac{\pi}{2} (R² - r²) = 2 \pi$$“, war mir nicht klar und er ist es immer noch nicht.

R² − r² = 4 nach Pythagoras; steht auch in @ottogal’s Lösung.

🖖 Живіть довго і процвітайте