Mengenoperationen

[Julia]

Hallo,

Gegeben sind die Mengen A1, A2, A3 und B1, B2, B3. Zu beweisen ist: Wenn A1⊆B1, A2⊆B2, A3⊆B3 gilt, dann gilt auch ((A1∪A2)∪A3)⊆ ((B1∪B2)∪B3).

Mein Versuch: x1 Є A1 → x1 Є ((A1∪A2)∪A3) x1 Є A1 → x1 Є B1 → x1 Є ((B1∪B2)∪B3),

x2 Є A2 → x2 Є ((A1∪A2)∪A3) x2 Є A2 → x2 Є B2 → x2 Є ((B1∪B2)∪B3),

x3 Є A3 → x3 Є ((A1∪A2)∪A3) x3 Є A3 → x3 Є B3 → x3 Є ((B1∪B2)∪B3).

Macht man das so oder bin ich von Anfang an auf dem falschen Weg?

Danke im Voraus

Julia

[Julia]

Hallo,

noch eine Idee:

x Є ((A1∪A2)∪A3), dann gibt es 3 Möglichkeiten:

1. x Є A1 → x Є B1 → x Є ((B1∪B2)∪B3)
2. x Є A2 → x Є B2 → x Є ((B1∪B2)∪B3)
3. x Є A3 → x Є B3 → x Є ((B1∪B2)∪B3)

Daraus folgt: ((A1∪A2)∪A3) ⊆ ((B1∪B2)∪B3).

Vielleicht ist es so richtiger?

Danke im Voraus

Julia

[encoder]

Rein vom Verständnis her ist das ja klar, aber das zählt leider nicht als Argument 😀

Solche Ausdrücke kann man auch mit logischen UND und ODER ausdrücken bzw. dazu umformen.

Die Vereinigung ist das ODER. Wenn x in der Verwenigungsmenge B1 u B2 u B3, dann ist x in B1 ODER in B2 ODER in B3. (nicht ausschließendes ODER)
Daraus könnte man dann logische Gleichungen erstellen. Also wenn x in A1, dann auch x in B1. Und somit ist die Aussage "x in B1 ODER x in B2 ODER x in B3" wahr.

[Julia]

Hallo encoder,

Vielen Dank für Deine Antwort.

Daraus könnte man dann logische Gleichungen erstellen. Also wenn x in A1, dann auch x in B1. Und somit ist die Aussage "x in B1 ODER x in B2 ODER x in B3" wahr.

D.h. x in ((A1∪A2)∪A3) ist dasselbe wie:

x in A1 oder x in A2 oder X in A3. Und diese 3 Fälle schaut man sich an:

1. x in A1, dann x in B1, somit die Aussage: "x in B1 ODER x in B2 oder x in B3" wahr,
2. x in A2, dann x in B2, somit die Aussage: "x in B1 ODER x in B2 oder x in B3" wahr,
3. x in A3, dann x in B3, somit die Aussage: "x in B1 ODER x in B2 oder x in B3" wahr.

Da alle 3 Aussagen wahr sind, ist auch die Aussage "((A1∪A2)∪A3) ⊆ ((B1∪B2)∪B3)" wahr.

Habe ich Dich richtig verstanden?

Und noch eine (vielleicht blöde) Frage, weil Du von logischen Gleichungen gesprochen hattest: Muss für eine Gleichung nicht auch ein "=" dabei sein?

Noch mal danke für die Hilfe

Julia

[encoder]

Muss gleich zu Beginn sagen, ich habe keinen Schimmer wie man das in eine Form fasst die wirklich Beweiskraft hat.

Habe ich Dich richtig verstanden?

ja. Ich habe sowas vor langem gehört, dass man boolsche Algebra in Mengenoperationen formulieren kann und andersrum auch.
Deine Aussage (A1∪A2∪A3) würde ich interpretieren als es gibt ein x für das gilt: x in A1 ODER x in A2 ODER x in A3.

Das ist schon länger her bei mir, ich kann dir auf die schnelle leider nur einen Anstoß geben. Schau dir mal dies hier an und die Links da drin. https://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Mengenlehre:_Mengenoperation:_Assoziativgesetz

Muss für eine Gleichung nicht auch ein "=" dabei sein?

Die Ausdrücke "es gibt ein x für das gilt ..." ist keine Gleichung, hätte grad keine Idee wie man das sonst korrekt bezeichnet. Wie gesagt lang ists her und mein Beitrag ist bitte nicht als formell ausgereift zu sehen. Vielleicht hilft es ja trotzdem weiter.

Wichtig (für dich) wäre auch wem du das beweisen musst. Nur für dich? Dann zeichne dir die Mengen auf und du siehst dass die Vermutung stimmt. Vielleicht reicht es auch für eine Prüfung. Oder der Prüfer will strenge theoretische Dinge die er dir beigebracht hat. Oder was auch sonst.

[Matthias Apsel]

Hallo encoder,

Deine Aussage (A1∪A2∪A3)

Das ist keine Aussage, sondern ein Term.

Die Ausdrücke "es gibt ein x für das gilt ..." ist keine Gleichung, hätte grad keine Idee wie man das sonst korrekt bezeichnet.

Als Aussage.

Bis demnächst
Matthias

[Julia]

Hallo encoder,

danke für Deine Antwort und für den Link (habe ich mir schon angeschaut, ist auf jeden Fall sehr hilfreich).

Wichtig (für dich) wäre auch wem du das beweisen musst. Nur für dich? Dann zeichne dir die Mengen auf und du siehst dass die Vermutung stimmt. Vielleicht reicht es auch für eine Prüfung. Oder der Prüfer will strenge theoretische Dinge die er dir beigebracht hat. Oder was auch sonst.

Ich fange im Oktober mein Informatik-Studium an und möchte mich im Voraus ein bisschen vorbereiten.

Dass die Aussage richtig ist, habe ich auch verstanden - habe mir auch direkt eine Zeichnung hierzu gemacht. Mir ging es hier also in der Tat darum, wie man sowas richtig in wissenschaftlicher Form beweist.

Noch mal danke für die Hilfe

Julia

[Gunnar Bittersmann]

@@encoder

Sollte in etwa so aussehen:

Voraussetzung:
A₁ ⊆ B₁ ⟺ ∀x: x ∈ A₁ ⇒ x ∈ B₁
A₂ ⊆ B₂ ⟺ ∀x: x ∈ A₂ ⇒ x ∈ B₂
A₃ ⊆ B₃ ⟺ ∀x: x ∈ A₃ ⇒ x ∈ B₃

Behauptung:
A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ⊆ B₁ ∪ B₂ ∪ B₃, d.h. ∀x: x ∈ A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ⇒ x ∈ B₁ ∪ B₂ ∪ B₃

Beweis: Für alle x gilt:
x ∈ A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ⟺ x ∈ A₁ ∨ x ∈ A₂ ∨ x ∈ A₃ ⇒ x ∈ B₁ ∨ x ∈ B₂ ∨ x ∈ B₃ ⟺ x ∈ B₁ ∪ B₂ ∪ B₃

LLAP 🖖

[Gunnar Bittersmann]

@@Julia

Bis auf das falsche Elementzeichen sieht das doch schon gar nicht so schlecht aus.

U+0404 Є ist der Buchstabe Je im ukrainischen Alphabet; das Zeichen für „ist Element von“ ist U+2208 ∈.

Und für die Indizes machen sich die tiefgestellten Ziffern besser: ₁, ₂, ₃.

LLAP 🖖

[Julia]

Hallo Gunnar,

Sollte in etwa so aussehen:

Voraussetzung:
A₁ ⊆ B₁ ⟺ ∀x: x ∈ A₁ ⇒ x ∈ B₁
A₂ ⊆ B₂ ⟺ ∀x: x ∈ A₂ ⇒ x ∈ B₂
A₃ ⊆ B₃ ⟺ ∀x: x ∈ A₃ ⇒ x ∈ B₃

Behauptung:
A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ⊆ B₁ ∪ B₂ ∪ B₃, d.h. ∀x: x ∈ A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ⇒ x ∈ B₁ ∪ B₂ ∪ B₃

Beweis: Für alle x gilt:
x ∈ A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ⟺ x ∈ A₁ ∨ x ∈ A₂ ∨ x ∈ A₃ ⇒ x ∈ B₁ ∨ x ∈ B₂ ∨ x ∈ B₃ ⟺ x ∈ B₁ ∪ B₂ ∪ B₃

Aha, so soll es also aussehen! Macht Sinn, danke!

U+0404 Є ist der Buchstabe Je im ukrainischen Alphabet; das Zeichen für „ist Element von“ ist U+2208 ∈.

Und für die Indizes machen sich die tiefgestellten Ziffern besser: ₁, ₂, ₃.

😀 Ja, das Zeichen "ist Element von" habe ich auf die Schnelle nicht gefunden und dachte es würde nicht auffahlen. Danke für die Hinweise, werden berücksichtigt.

Danke für die Hilfe!

Julia