Wieviel Ecken hat ein Kegel? (Definition einer Ecke)

[Swen Wacker]

Moin,

ich mag es, mit meiner Tochter (9, dritte Klasse) Hausaufgaben zu machen. Sie bringt mich immer an meine Grenzen :-)

Gestern war in Mathe mal wieder ein Geometrietag. Sophie sollte bestimmen, wieviele Ecken, Kanten und Flächen verschiedene Körper wie Würfel, Quader, Kugel, Kegel, Zylinder, Pyramide ... haben. Hört sich echt billig an. Bis Sophie den Kegel betrachtete, auf dessen Spitze schaute und entschied: Das ist ein Ecke.

Finde ich auch, dachte ich. denn eine Ecke ist was, woran man sich weh tun kann, oder so :-) Eine Ecke ist da, wo sich zwei oder mehr Kanten treffen, oder so ähnlich? Und warum ist die Spitze des Kegels dann eine Ecke? Sind das n Kanten, die da zusammentreffen? Da habe ich echt nicht weiter gewusst und kann es mir nicht erklären.
Was genau bitte ist eine Ecke (in der Geometrie)? Google und die Träume haben mich nicht schlauer gemacht.

Liebe Grüße

Swen

[Martin]

Hallo Swen,

das liest sich alles sehr unterhaltsam... :)

[...] Bis Sophie den Kegel betrachtete, auf dessen Spitze schaute und entschied: Das ist eine Ecke.
Finde ich auch, dachte ich. denn eine Ecke ist was, woran man sich weh tun kann, oder so :-) Eine Ecke ist da, wo sich zwei oder mehr Kanten treffen, oder so ähnlich?

Mein Mathmatikunterricht ist zwar lange her, und eine zuverlässige Definition kann ich jetzt "aus dem Bauch" auch nicht liefern. Aber ich denke, deine zweite Formulierung trifft's besser. So hätte ich eine Ecke im geometrischen Sinn auch definiert: Als einen Punkt, an dem mehrere Kanten aufeinandertreffen.

Der Kegel hat demnach eine Spitze, aber keine Ecke. Es widerstrebt mir auch intuitiv, einem Rotationskörper eine Ecke zu attestieren. Aber ich warte jetzt gespannt, was hier sonst noch für Meinungen geäußert werden!

Have a nice day,

Martin

[Andreas Pflug]

Hallo,

Der Kegel hat demnach eine Spitze, aber keine Ecke. Es
widerstrebt mir auch intuitiv, einem Rotationskörper
eine Ecke zu attestieren. Aber ich warte
jetzt gespannt, was
hier sonst noch für Meinungen geäußert werden!

vielleicht kann man sich erstmal eine nicht ganz runde Annäherung an einen Kegel bestehend aus mehreren
kegelförmig aufeinander zulaufenden Dreiecken vorstellen,
die sich alle in einem Punkt (--> Spitze) schneiden.

Dann ist die Spitze für jedes der Dreiecke eine "Ecke".
Ein wirklich runder könnte aus infinitesimal vielen
spitz zulaufenden Dreiecken bestehen. Dann wäre die
Spitze für jedes der infinitesimal vielen Dreiecke
eine "Ecke". Ob sie jedoch auch als "Ecke" des
Kegels angesehen werden kann, kann so nicht
entschieden werden --> Definitionssache?

Viele Grüße

Andreas

[Swen Wacker]

Moin,

Dann ist die Spitze für jedes der Dreiecke eine "Ecke".

Das blöde ist dann nur, dass "unten", wo die Dreicke sich aneinandereihen und den "Kreis" (der die Basis des Kegels ist) bilden, dann kein Kreis als Fläche mehr wäre sondern ein n-Eck. Und damit ganz viele Ecken. Und ddas wäre dann aber ein Pyramide und kein Kegel mehr. Oder?

Gruß

Swen

[Tim Tepaße]

Hallo Swen,

Das blöde ist dann nur, dass "unten", wo die Dreicke sich aneinandereihen
und den "Kreis" (der die Basis des Kegels ist) bilden, dann kein Kreis als
Fläche mehr wäre sondern ein n-Eck. Und damit ganz viele Ecken.

Der Witz dabei ist doch, daß n hier gleich unendlich ist. Ein Kreis ist
doch nur ein Unendlich-Eck. ;-)

Tim

[Jens Holzkämper]

Tach,

Das blöde ist dann nur, dass "unten", wo die Dreicke sich aneinandereihen und den "Kreis" (der die Basis des Kegels ist) bilden, dann kein Kreis als Fläche mehr wäre sondern ein n-Eck. Und damit ganz viele Ecken.

ich denke, es ist problemlos, den Kreis als Grenzwert der Folge (mit n->unendlich) der regelmäßigen n-Ecke mit Abstand r zwischen Eckpunkt und Zentrum zu sehen; und zu beweisen, daß dieser Kreis der selbe ist, wie der mit einer anderen Definition (z.B. dasjenige Objekt in der Ebene, dessen Peripheriepunkte alle den selben Abstand, von einem gemeinsamen Zentrum haben).

Und ddas wäre dann aber ein Pyramide und kein Kegel mehr. Oder?

Ein Kegel ist eine Pyramide mit Kreisförmiger Grundfläche.

mfg
Woodfighter

[Tim Tepaße]

Hallo Swen,

Martin hat zwarschon geantwortet, aber da ich gerade so schön recherchiert
habe .. (Hey, danke, endlich mal eine interessante Frage hier. ;-)

Eine Ecke ist da, wo sich zwei oder mehr Kanten treffen, oder so ähnlich?

Ich bin dann mal ganz zurückgegangen und habe in Euklids Elemente geschaut,
hier in Buch I, Grundlegende Definitionen, leider die englische Übersetzung,
weil ich selbst beim Projekt Gutenberg nix deutsches fand.

»Definition 8: A plane angle is the inclination to one another of two lines
  in a plane which meet one another and do not lie in a straight line.«
  (http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html)

Ein Winkel ist also da, wo sich zwei Kanten treffen. Wobei Winkel ja noch
nicht wirklich in der dritten Klasse auftreten dürften.

Und warum ist die Spitze des Kegels dann eine Ecke? Sind das n Kanten, die
da zusammentreffen? Da habe ich echt nicht weiter gewusst und kann es mir
nicht erklären.

Hier aus Buch XI, über feste Körper:

»Definition 11: A solid angle is the inclination constituted by more than
  two lines which meet one another and are not in the same surface, towards
  all the lines, that is, a solid angle is that which is contained by more
  than two plane angles which are not in the same plane and are constructed
  to one point.«
  (http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXI/bookXI.html)

Ein Winkel eines festen Körpers ist also aus mehr als zwei Linien konstruiert,
die sich überschneiden und nicht in der gleichen Fläche sind. Dürfte auf all
die n bzw. eher unendlichen Linien der Kegeloberfläche zutreffen.

Später wird dort in Definition 18 ein Kegel durch die Rotation eines
rechtwinkligen Dreieckes konstruiert, also auch mit einem Winkel.
Wobei ich hier die Unterscheidung zwischen Halb- und Vollkegel nicht
sehe.

Ich würde sagen: Euklid gibt Dir recht. :-)

Aaaber: Interessante Frage: Hat ein Kegel nur eine oder auch zwei Ecken?
Weil, wenn man sich diesen Querschnitt durch einen Halbkegel betrachtet ...

/\    <- obige Ecke
        /  \        /    \       /______\  <- Und hier?

... dann bleibt doch die Frage, ob »unten« ein Winkel ist oder unendlich
viele Winkel oder gar kein Winkel, weil sich streng genommen an einem
Punkt nur zwei Linien treffen, was der Definition von Winkeln fester Körper
widersprechen würde. Ich würde spontan auf letzteres tippen, sage aber
nichts endgültiges ohne meinen Anwalt bzw. Mathematiker. ;-)

Tim

[srob]

Hallo Tim,

Ein Winkel eines festen Körpers ist also aus mehr als zwei Linien konstruiert, die sich überschneiden und nicht in der gleichen Fläche sind. Dürfte auf all die n bzw. eher unendlichen Linien der Kegeloberfläche zutreffen.
rechtwinkligen Dreieckes konstruiert, also auch mit einem Winkel.

einen Winkel findest Du allenfalls in einem rotationsachsenparallelen Schnitt durch den Kegel; beim Körper an sich ist der Begriff "Winkel" in der Spitze nicht definiert. Man spricht hier vom völlig anders definierten Raumwinkel.

hth Robert

[Tim Tepaße]

Hallo Robert,

Man spricht hier vom völlig anders definierten Raumwinkel.

In der englischen Übersetzung von Euklid: solid angle.

Tim

[Swen Wacker]

Moin,

Ich würde sagen: Euklid gibt Dir recht. :-)

Das habe ich richtig verstanden, dass Du dafür bist, dass der Kegel eine Ecke hat?

Aaaber: Interessante Frage: Hat ein Kegel nur eine oder auch zwei Ecken?

Lieber nicht :-) Sonst kommt noch wer daher und besteht darauf, dass eine Kugel aus unendlich vielen Ecken besteht :-)

Gruß

Swen

[srob]

Hallo Swen,

nach der Definition im Bronstein wird eine Ecke von mehreren Ebenen, die durch einen Punkt gehen, gebildet. Da die Kegelspitze nicht von Ebenen gebildet wird, sollte es sich nicht um eine Ecke handeln.

hth Robert

[Swen Wacker]

Moin,

nach der Definition im Bronstein wird eine Ecke von mehreren Ebenen, die durch einen Punkt gehen, gebildet. Da die Kegelspitze nicht von Ebenen gebildet wird, sollte es sich nicht um eine Ecke handeln.

Tja, nun steht es eins zu eins :-) Einer ist für eine Ecke, einer dagegen :-)

Nur zur Abrundung meines Wissensdurstes nachgefragt: Eine Kugel, auf deren Oberflächen n Kegel stehen, hat dann immer noch keine Ecken, sondern n Spitzen?

Gruß

Swen

[srob]

Hi,

Nur zur Abrundung meines Wissensdurstes nachgefragt: Eine Kugel, auf deren Oberflächen n Kegel stehen, hat dann immer noch keine Ecken, sondern n Spitzen?

bei diesem Konstrukt fällt es mir schwer, einen Körper zu sehen (die Kegelbasen berühren die Kugeloberfläche in einem Punkt). Wenn Du meinst, daß die Grundlinien der Kegelmäntel Teil der Kugeloberfläche sind, dann erkenne ich schon eher einen (Durchdringungs-)Körper, an welchem ich immer noch keine Ecken sehe. Nur Spitzen. Aber der Mantel über diesen Körper, der hat Ecken, die mit den Kegelspitzen zusammenfallen.

hth Robert

[Swen Wacker]

Moin,

Wenn Du meinst, daß die Grundlinien der Kegelmäntel Teil der Kugeloberfläche sind,

Ja.

Danke

Swen

[Sven Rautenberg]

Moin!

nach der Definition im Bronstein wird eine Ecke von mehreren Ebenen, die durch einen Punkt gehen, gebildet. Da die Kegelspitze nicht von Ebenen gebildet wird, sollte es sich nicht um eine Ecke handeln.
Tja, nun steht es eins zu eins :-) Einer ist für eine Ecke, einer dagegen :-)

Ich bin auch dagegen, dass ein Kegel eine Ecke hat.

Eine Ecke ist nach meinem Verständnis der Punkt, in dem die Kanten, welche von jeweils zwei Flächen gebildet werden, aufeinandertreffen. Der klassische Würfel hat 8 Ecken, in jeder treffen drei Seitenflächen aufeinander.

Beim Kegel gibt es insgesamt nur zwei Flächen, die Grundfläche und die Mantelfläche, die einzige vorhandene Kante ist "unten herum", und die Kegelspitze ist eben eine Spitze, keine Ecke. Hier trifft ja ausschließlich eine einzige Fläche auf sich selbst.

Eine Ecke ist sehr wohl in irgendeiner Weise "spitz", aber es werden halt Kanten benötigt, die auf diesen spitzen Punkt zulaufen.

Nur zur Abrundung meines Wissensdurstes nachgefragt: Eine Kugel, auf deren Oberflächen n Kegel stehen, hat dann immer noch keine Ecken, sondern n Spitzen?

So sehe ich das jedenfalls.

- Sven Rautenberg

[KD-one]

Hi Sven,
Mathematisch könnte man die Mantelfläche aber in eine unendliche Anzahl von Einzelflächen auflösen, folglich hätte der Kegel eine unendliche Anzahl von Ecken.
In dieser Schulstufe könnte es durchaus also schon sein, dass auf diese theoretischen Werte eingegangen wird.
Ist aber bloß meine Meinung.

Gruß

Kurt

[Sven Rautenberg]

Moin!

Mathematisch könnte man die Mantelfläche aber in eine unendliche Anzahl von Einzelflächen auflösen, folglich hätte der Kegel eine unendliche Anzahl von Ecken.

Nein. Denn es fehlt dem Kegel dort an Kanten.

Wenn ich es mal so definieren darf (wobei ich mich frage, ob es nicht jemand viel schlaueres schon lange vor mir getan hat):

Eine Kante ist eine Strecke, an denen zwei Flächen so aufeinander stoßen, dass deren Normalenvektor im Linienpunkt voneinander verschieden ist. Oder auf Deutsch: Da is'n Knick drin.

Demnach wäre eine Ecke ein Punkt, an den mindestens drei Flächen grenzen, deren Normalenvektor sich unterscheidet. Oder auf Deutsch: Drei Knicke treffen sich in einem Punkt und bilden eine Ecke.

In dieser Schulstufe könnte es durchaus also schon sein, dass auf diese theoretischen Werte eingegangen wird.
Ist aber bloß meine Meinung.

In der dritten Klasse? Bestimmt noch nicht. Da wird jedenfalls nix von irgendwelchen Vektoren erzählt werden, bestenfalls der Kegel als Sonderausnahme behandelt.

- Sven Rautenberg

[Swen Wacker]

Moin,

Mathematisch könnte man die Mantelfläche aber in eine unendliche Anzahl von Einzelflächen auflösen, folglich hätte der Kegel eine unendliche Anzahl von Ecken.

Nein. Denn es fehlt dem Kegel dort an Kanten.

Ich glaube, gemeint war ein Körper, der sich wie ein Fußball zur Kugel verhält: Auf dem ersten Blick rund - aber bei genauem Hinsehen aus vielen Sechsecken zusammengesetzt.

Demnach wäre eine Ecke ein Punkt, an den mindestens drei Flächen grenzen, deren Normalenvektor sich unterscheidet. Oder auf Deutsch: Drei Knicke treffen sich in einem Punkt und bilden eine Ecke.

"...Deutsch: Drei oder mehr Knicke treffen..." meintest Du, da es ja mindestens drei Flächen sein können.

In der dritten Klasse? Bestimmt noch nicht. Da wird jedenfalls nix von irgendwelchen Vektoren erzählt werden, bestenfalls der Kegel als Sonderausnahme behandelt.

Ich habe nachgefragt. Nicht mal das. Laut Mathebuch hat der Kegel eine Ecke und damit ist gut. Dass manche Ecken in echt Spitzen sind, kommt später dran (weiterführende Schule 5., 6. Klasse). So einfach ist die Welt :-)

Gruß

Swen

[at]

Hallo.

Eine Ecke ist nach meinem Verständnis der Punkt, in dem die Kanten, welche von jeweils zwei Flächen gebildet werden, aufeinandertreffen. Der klassische Würfel hat 8 Ecken, in jeder treffen drei Seitenflächen aufeinander.

Du solltest dich aber schon entscheiden, ob du nun zwei oder drei Flächen meinst.
MfG, at

[Jens Holzkämper]

Tach,

Eine Ecke ist nach meinem Verständnis der Punkt, in dem die Kanten, welche von jeweils zwei Flächen gebildet werden, aufeinandertreffen. Der klassische Würfel hat 8 Ecken, in jeder treffen drei Seitenflächen aufeinander.

Du solltest dich aber schon entscheiden, ob du nun zwei oder drei Flächen meinst.

Er spricht zuerst von Kanten, die von 2 Flächen gebildet werden, wobei 2 aufeinandertreffende Kanten dann eine Ecke bilden (wobei ich hier wahrscheinlich nicht zustimmen würde); und dann von den Ecken eines Würfels (Achtung Spezialfall), die von 3 Flächen gebildet werden (was in der anschaulichen (euklidischen) Geometrie wohl zutrifft).

mfg
Woodfighter

[at]

Hallo.

Er spricht zuerst von Kanten, die von 2 Flächen gebildet werden, wobei 2 aufeinandertreffende Kanten dann eine Ecke bilden (wobei ich hier wahrscheinlich nicht zustimmen würde); und dann von den Ecken eines Würfels (Achtung Spezialfall), die von 3 Flächen gebildet werden (was in der anschaulichen (euklidischen) Geometrie wohl zutrifft).

Ich verstehe, danke.
MfG, at

[nobody]

hallo experten,

wie viele ecken hat eigentlich eine pyramide?

[Sven Rautenberg]

Moin!

wie viele ecken hat eigentlich eine pyramide?

Welche Grundfläche hat die denn? Dreieckig, viereckig, fünfeckig. Oder gar sechseckig? Je nachdem ergibt sich die Zahl der Ecken.

Eine viereckige Pyramide hat 5 Ecken. :)

- Sven Rautenberg

[nobody]

egal wie viele. kann man ja als algorhytmus ausdrücken.

Eine viereckige Pyramide hat 5 Ecken. :)

wie nennt man eine pyramide mit unendlich vielen ecken?

[Jens Holzkämper]

Tach

wie nennt man eine pyramide mit unendlich vielen ecken?

ich würde sagen Kegel.

mfg
Woodfighter