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Der Martin
Der Martin
Marc Reichelt
Der Martin
Gunnar Bittersmann
Marc Reichelt
Hi alle!
Ich soll durch vollständige Induktion beweisen, dass
die Summe der Kuben dreier aufeinanderfolgender Zahlen durch 9 teilbar ist.
Also: n³ + (n+1)³ + (n+2)³ ist teilbar durch 9
Ich gestehe, dass ich keinen blaßen Schimmer habe, wir ich diesen Beweis in Angriff nehme.
Wikipedia und andere Internetseiten konnten mir auch nicht helfen. [1]
[1]Ich kapiere es einfach nicht.
MfG H☼psel
Hi,
Ich gestehe, dass ich keinen blaßen Schimmer habe, wir ich diesen Beweis in Angriff nehme.
erstens: Beweise es exemplarisch für die ersten für n in Frage kommenden Werte. Lies: Rechne es aus.
Zweitens: Beweise allgemein, dass wenn die Behauptung für n stimmt, sie auch für n+1 stimmen muss.
[1]Ich kapiere es einfach nicht.
Definiere Deine Probleme.
Cheatah
Hi Cheatah!
Zweitens: Beweise allgemein, dass wenn die Behauptung für n stimmt, sie auch für n+1 stimmen muss.
Genau da habe ich ein Verständnisproblem. Wie kann ich denn beweisen, dass eine Behauptung für n stimmt?
Und was nützt es mir, wenn ich in einer Formel n einfach durch n+1 ersetze?
MfG H☼psel
Hi,
Zweitens: Beweise allgemein, dass wenn die Behauptung für n stimmt, sie auch für n+1 stimmen muss.
das hast Du im ersten Schritt gemacht. Jetzt beweist Du nur noch, dass _wenn_ sie für n stimmt, sie auch für n+1 stimmen muss.
Und was nützt es mir, wenn ich in einer Formel n einfach durch n+1 ersetze?
Wenn Du es in Beziehung mit der Formel für n setzt, ergibt sich daraus der Beweis. Sofern Du ein kleinstes n findest, für das die Behauptung stimmt.
Cheatah
Hi Cheatah!
Hi,
Zweitens: Beweise allgemein, dass wenn die Behauptung für n stimmt, sie auch für n+1 stimmen muss.
das hast Du im ersten Schritt gemacht. Jetzt beweist Du nur noch, dass _wenn_ sie für n stimmt, sie auch für n+1 stimmen muss.
Okay, ich versuche das nachzuvollziehen.
Ich beweise also für n=0: 0³ + 1³ + 2³ = 9
Dieser Induktionsangfang ist also offensichtlich richtig.
Die Induktionsbehauptung lautet folglich:
n³ + (n+1)³ + (n+2)³ ist durch 9 teilbar.
Und was nützt es mir, wenn ich in einer Formel n einfach durch n+1 ersetze?
Wenn Du es in Beziehung mit der Formel für n setzt, ergibt sich daraus der Beweis. Sofern Du ein kleinstes n findest, für das die Behauptung stimmt.
Ich habe keine Ahnung, wie der Induktionsschritt aussehen muss.
(n+1)³ + (n+2)³ + (n+3)³ ?
MfG H☼psel
Hi,
Ich habe keine Ahnung, wie der Induktionsschritt aussehen muss.
(n+1)³ + (n+2)³ + (n+3)³ ?
das ist der Anfang. Überlege Dir Folgendes: Wenn eine Zahl x durch 9 teilbar ist, dann ist y genau dann durch 9 teilbar, wenn ...?
Cheatah
Hi Cheatah!
Ich habe keine Ahnung, wie der Induktionsschritt aussehen muss.
(n+1)³ + (n+2)³ + (n+3)³ ?das ist der Anfang. Überlege Dir Folgendes: Wenn eine Zahl x durch 9 teilbar ist, dann ist y genau dann durch 9 teilbar, wenn ...?
y = 9x
y = x + 9
y = 9x + 9
usw.
Aber worauf möchtest du hinaus?
MfG H☼psel
Hi,
das ist der Anfang. Überlege Dir Folgendes: Wenn eine Zahl x durch 9 teilbar ist, dann ist y genau dann durch 9 teilbar, wenn ...?
y = 9x
y = x + 9
y = 9x + 9
usw.
keine Beispiele, sondern eine allgemeingültige Regel. Keine Angst, die brauchst Du erst mal nicht zu beweisen ;-)
Aber worauf möchtest du hinaus?
Auf mathematische Denkweise. Und ein wenig Phantasie.
Cheatah
Hi Cheatah!
das ist der Anfang. Überlege Dir Folgendes: Wenn eine Zahl x durch 9 teilbar ist, dann ist y genau dann durch 9 teilbar, wenn ...?
[ keine Beispiele, sondern eine allgemeingültige Regel. ]
... y Vielfaches von x ist.
MfG H☼psel
Hallo,
das ist der Anfang. Überlege Dir Folgendes: Wenn eine Zahl x durch 9 teilbar ist, dann ist y genau dann durch 9 teilbar, wenn ...?
... y Vielfaches von x ist.
die Behauptung ist richtig - aber die bringt dich hier nicht weiter. Man kann es noch anders ausdrücken. :-)
Martin
Hi,
... y Vielfaches von x ist.
die Behauptung ist richtig - aber die bringt dich hier nicht weiter. Man kann es noch anders ausdrücken. :-)
vor allem sollte man noch die vielen anderen durch 9 teilbaren Werte mit einbeziehen ;-) Die Fragestellung beinhaltete "_genau_ dann" - also "nur dann" _und_ "immer dann".
Cheatah
Hi Cheatah,
vor allem sollte man noch die vielen anderen durch 9 teilbaren Werte mit einbeziehen ;-) Die Fragestellung beinhaltete "_genau_ dann" - also "nur dann" _und_ "immer dann".
klingt kompliziert, aber ich glaube zu wissen, was du damit sagen willst. Ich habe hier übrigens gerade zwei DIN A5-Schmierzettel verkritzelt, bis ich die Lösung hatte. Den zweiten nur deshalb, weil ich mich erst beim Ausmultiplizieren von (a+b)³ mit den Koeffizienten verzettelt hatte (hatte 2 statt 3 bei den gemischten Gliedern geschrieben).
Ciao,
Martin
Hi,
vor allem sollte man noch die vielen anderen durch 9 teilbaren Werte mit einbeziehen ;-) Die Fragestellung beinhaltete "_genau_ dann" - also "nur dann" _und_ "immer dann".
klingt kompliziert, aber ich glaube zu wissen, was du damit sagen willst.
"genau dann" bzw. "dann und nur dann" sind mathematische Begriffe, die eigentlich ebenso leicht verständlich sind wie z.B. der Begriff der Eineindeutigkeit[1] ;-)
Ich habe hier übrigens gerade zwei DIN A5-Schmierzettel verkritzelt, bis ich die Lösung hatte. Den zweiten nur deshalb, weil ich mich erst beim Ausmultiplizieren von (a+b)³ mit den Koeffizienten verzettelt hatte (hatte 2 statt 3 bei den gemischten Gliedern geschrieben).
Hm, wenn ich jetzt sage, dass ich den Lösungsweg im Kopf überschlagen und verifiziert habe, bin ich dann ein Angeber? *unschuldigguck* :-)
Cheatah
[1] Kein Schreibreibfehler :-)
Hallo Cheatah,
Hm, wenn ich jetzt sage, dass ich den Lösungsweg im Kopf überschlagen und verifiziert habe, bin ich dann ein Angeber? *unschuldigguck* :-)
Nein. Dann bist du ein Cheatah.
Grüße
Marc *SCNR* Reichelt || http://www.marcreichelt.de/
Hi,
"genau dann" bzw. "dann und nur dann" sind mathematische Begriffe, ...
Die sind mir auch geläufig. Aber du hattest sie noch mit ein paar Füllwörtern ausgeschmückt.
ebenso leicht verständlich sind wie z.B. der Begriff der Eineindeutigkeit ;-)
Ja, aber da bevorzuge ich den Begriff "umkehrbar eindeutig", das hört sich nicht so nach einem Versprecher oder Stottern an.
Hm, wenn ich jetzt sage, dass ich den Lösungsweg im Kopf überschlagen und verifiziert habe, bin ich dann ein Angeber? *unschuldigguck* :-)
Ja. Wenn's wahr ist, dann erst recht. :-P
Schönen Abend noch,
Martin
Hi,
"genau dann" bzw. "dann und nur dann" sind mathematische Begriffe, ...
Die sind mir auch geläufig. Aber du hattest sie noch mit ein paar Füllwörtern ausgeschmückt.
in https://forum.selfhtml.org/?t=117031&m=749105? Nun ja, es gibt zwei mal "dann", was ablenken kann, das muss ich zugeben.
ebenso leicht verständlich sind wie z.B. der Begriff der Eineindeutigkeit ;-)
Ja, aber da bevorzuge ich den Begriff "umkehrbar eindeutig", das hört sich nicht so nach einem Versprecher oder Stottern an.
Guter Vorschlag. Baden-Baden hat keine Uni, der man das weiterleiten könnte, oder? ;-)
Hm, wenn ich jetzt sage, dass ich den Lösungsweg im Kopf überschlagen und verifiziert habe, bin ich dann ein Angeber? *unschuldigguck* :-)
Ja. Wenn's wahr ist, dann erst recht. :-P
Okay, dann behaupte ich einfach mal, ich hätte gelogen ;-)
Cheatah
n'Abend!
in https://forum.selfhtml.org/?t=117031&m=749105? Nun ja, es gibt zwei mal "dann", was ablenken kann, das muss ich zugeben.
nein, ich meinte https://forum.selfhtml.org/?t=117031&m=749132: genau dann, nur dann und immer dann.
Ja, aber da bevorzuge ich den Begriff "umkehrbar eindeutig", das hört sich nicht so nach einem Versprecher oder Stottern an.
Guter Vorschlag. Baden-Baden hat keine Uni, der man das weiterleiten könnte, oder? ;-)
Keine Ahnung - so gut kenn ich diese Stadt nicht. Aber heute mittag in der Kantine konnte ich mir doch ein Grinsen nicht verkneifen, als ich einen Kollegen in Anspielung auf seine neue Heimatstadt fragte, "Müssen Sie nun auch Ihr Bad wimpfen? Wissen Sie schon, wie das geht?"
[Angeber?]
Ja. Wenn's wahr ist, dann erst recht. :-P
Okay, dann behaupte ich einfach mal, ich hätte gelogen ;-)
Schön, wenn jemand noch zugeben mag, er hätte gelogen (ja, ich weiß: Es gibt das eine oder andere nette Paradoxon zu diesem Thema).
So long,
Martin
Tach,
Schön, wenn jemand noch zugeben mag, er hätte gelogen (ja, ich weiß: Es gibt das eine oder andere nette Paradoxon zu diesem Thema).
und was ist nun mit dem Barbier, wer rasiert den?
SCNR
Woodfighter
Gsss,
sorry, ich habe missverständlich zitiert. Man verzeihe mir mein Doppelposting:
Genau da habe ich ein Verständnisproblem. Wie kann ich denn beweisen, dass eine Behauptung für n stimmt?
das hast Du im ersten Schritt gemacht. Jetzt beweist Du nur noch, dass _wenn_ sie für n stimmt, sie auch für n+1 stimmen muss.
Und was nützt es mir, wenn ich in einer Formel n einfach durch n+1 ersetze?
Wenn Du es in Beziehung mit der Formel für n setzt, ergibt sich daraus der Beweis. Sofern Du ein kleinstes n findest, für das die Behauptung stimmt.
Cheatah
Induktionsstart n = 1:
1³ + (1+1)³ + (1+2)³ = 36 ist durch 9 teilbar.
Schluß n -> n+1:
(n+1)³ + (n+2)³ + (n+3)³
zuerst bringen wir den Ausdruck für n rein, weil für den die Annahme stimmt:
= n³ + (n+1)³ + (n+2)³ - n³ + (n+3)³
der erste Teil des Polynoms fasse ich mal in eckigen Klammern, weil das schon bewiesen ist als durch 9 teilbar, den zweiten Teil des Ausdruck löse ich auf.
= [n³ + (n+1)³ + (n+2)³] - n³ + n³ + 9n² + 9n + 9
= [n³ + (n+1)³ + (n+2)³] + 9(n² + n + 1)
somit ist der erste Teil die Induktionsannahme, beim zweiten Teil steht eine dicke 9 davor, womit auch der zweite Teil durch 9 teilbar ist
QED,
Flash
Hi,
Induktionsstart n = 1:
[...]
*seufz* herzlichen Glückwunsch, Du hast Hopsel soeben Schaden zugefügt, falls er Dein Posting gelesen hat.
Cheatah
Hi Cheatah!
Induktionsstart n = 1:
[...]*seufz* herzlichen Glückwunsch, Du hast Hopsel soeben Schaden zugefügt, falls er Dein Posting gelesen hat.
Ja, das hat er. Aber er hat es gut gemeint. Das macht aber nichts. Ich habe noch mehr Beweise vor mir liegen. Wenn du möchtest, weihe ich dich gerne ein. :)
MfG H☼psel
Hi,
Ja, das hat er. Aber er hat es gut gemeint.
ja, das hat er.
Das macht aber nichts.
Finde ich schon.
Ich habe noch mehr Beweise vor mir liegen. Wenn du möchtest, weihe ich dich gerne ein. :)
Immer nur her damit :-)
Cheatah
Hi Cheatah!
Immer nur her damit :-)
Zeige, daß die Zahl d(n) der Diagonalen in einem ebenen, konvexen n-Eck durch die Formel
d(n) = n/2 * (n-3) für alle n >= 4
berechnet werden kann!
Ich werde mich heute oder morgen an die Aufgabe machen. Jetzt muss ich erst weg. Danke. :)
MfG H☼psel
Hi,
Zeige, daß die Zahl d(n) der Diagonalen in einem ebenen, konvexen n-Eck durch die Formel
d(n) = n/2 * (n-3) für alle n >= 4
berechnet werden kann!
Du kannst für n die Werte 0, 1, 2 und 3 schon mal ausschließen ;-) Zähle also die Zahl der Diagonalen für n=4. Überlege Dir anschließend, was passiert, wenn Du dem n-Eck eine Ecke hinzufügst. Wie viele Diagonale kommen hinzu?
Cheatah
Diplomaten begrüßen sich beim Neujahrestreffen, jeder begrüßt jeden, wie oft werden die Hände geschüttelt bei n Diplomaten ?
Ähnliches Problem...
Die vollständige Induktion hat immer ein Problem, der Induktionsschritt ist immer sehr tricky.
Ich bin der Überzeugung, daß wenn man den Induktionsschritt kennt, dann findet man eine ebensogute nicht-rekursive Lösung.
Gruß,
Flash
Hi,
Diplomaten begrüßen sich beim Neujahrestreffen, jeder begrüßt jeden, wie oft werden die Hände geschüttelt bei n Diplomaten ?
Ähnliches Problem...
ja, ein typisches Standardproblem :-)
Die vollständige Induktion hat immer ein Problem, der Induktionsschritt ist immer sehr tricky.
Eigentlich nicht. Man schaut sich ein paar einfache Fälle an (sprich: die ersten paar) und überlegt sich, was von einem zum nächsten Fall eigentlich passiert ist. Das verpackt man in eine allgemeine Formel - was oft wirklich nicht schwer ist - et voilà: man hat die Differenz[1] zwischen F(n) und F(n+1).
Ich bin der Überzeugung, daß wenn man den Induktionsschritt kennt, dann findet man eine ebensogute nicht-rekursive Lösung.
Ich finde, vollständige Induktion ist eine der leichtesten Beweismethoden. Es erfordert ein wenig Zeit, das Prinzip zu verinnerlichen; danach ist es aber etwas, das man in vielen Fällen im Kopf durchexerzieren kann. Aber Meinungen sind zum Glück ebenso verschieden, wie es Denkweisen sind :-)
Cheatah
[1] Bitte nicht mit der gleichnamigen Grundrechenart verwechseln ;-)
Vollständige Induktion ist bei der 'trivialen' Mathematik meist auch noch nicht so die Welt.
Wenn du aber die Theorie dazu durchwurschteln musst, dann bekommst du so Hirnauflösungserscheinungen, die wir immer mit reichlich Starkbier versucht haben zu kurieren.
Sagt dir das Lemma von Zorn was ?
Lemma haben die Eigenschaft, daß man annimmt, das sie stimmen, obwohl es nicht bewiesen werden konnte.
http://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Zorn
Aber mit Hilfe des Lemma kann man viele andere Sachen durch vollständige Induktion beweisen.
Allein der Artikel in der Wiki hat mir schon graue Haare gebracht.
Hallo,
Sagt dir das Lemma von Zorn was ?
Lemma haben die Eigenschaft, daß man annimmt, das sie stimmen, obwohl es nicht bewiesen werden konnte.
Hmm, nein. Was Du meinst, sind "Axiome". Das Lemma von Zorn ist aequivalent zum sog. Auswahlaxiom. Der Aequivalenzbeweis ist nicht trivial, zumindest fuer die interessanten Faelle.
Gruss
Thomas
Hi,
Das Lemma von Zorn ist aequivalent zum sog. Auswahlaxiom. Der Aequivalenzbeweis ist nicht trivial, zumindest fuer die interessanten Faelle.
Soso. Ich hab zwar *keinen blassen Schimmer*, was ein Lemma ist, und es interessiert mich auch nicht (ich hätte spontan vermutet, es ist ein Interpunktionszeichen, sowas ähnliches wie ein Komma), aber mein Lehrer im Mathe-LK pflegte gern zu sagen, "Jetz lemma mal den Bledsinn beiba, jo?".
*scnr*
Martin
Hallo zusammen,
Ich mach mich mal daran, diese Begriffsverwirrung aufzuklären:
Ein Lemma ist ein Hilfssatz. Also eigentlich ein nicht so wichtiger Satz der nur benötigt wurde, um das zu Zeigen, was man eigentlich zeigen wollte. Nichtsdestotrotz gibt es einige bekannte Lemmata.
Axiome sind Grundaussagen, durch die man ein System definiert. (Einfaches Beispiel sind die Peano-Axiome, durch die die Natürlichen Zahlen definiert sind.) Axiome können und müssen nicht bewiesen werden (zu Beweisen ist dann höchstens, dass das, was man da definiert hat, auch existiert und dass die Definition eindeutig ist.)
Aussagen, die möglicherweise falsch sind, heißen üblicherweise Vermutung oder These.
Grüße
Daniel
Hej,
Ein Lemma ist ein Hilfssatz.
Der schönste Hilfssatz ist das schweigende Lemma. Har har
Beste Grüße
Biester*SCNR*feld
Hallo,
Ein Lemma ist ein Hilfssatz.
Der schönste Hilfssatz ist das schweigende Lemma. Har har
Was sind zwei Lemmas?
Ein Dilemma.
(Zugegeben: es ist nicht wirklich lustig)
Viele Grüße,
Christian
Hi,
Wenn du aber die Theorie dazu durchwurschteln musst, dann bekommst du so Hirnauflösungserscheinungen, die wir immer mit reichlich Starkbier versucht haben zu kurieren.
bist Du sicher, dass Du da nicht den Richtungspfeil der Kausalität verkehrt angebracht hast? ;-)
Sagt dir das Lemma von Zorn was ?
Der Name speziell nicht, aber die Aussage dahinter kommt mir bekannt vor.
Lemma haben die Eigenschaft, daß man annimmt, das sie stimmen, obwohl es nicht bewiesen werden konnte.
Ja, ich weiß. Wir wollten als Studenten mal einen Film drehen, in dem jemand Beweise für alle bekannten Lemma forderte, was dazu führte, dass er unter Zuhilfenahme von Mathematikprofessoren ... unfreiwillig vom Ableben Gebrauch machte. Der Titel sollte "Das Schweigen der Lemma" sein. Wir haben ihn nicht gedreht, weil irgend jemand nicht damit einverstanden war, dass wir den falschen Plural genommen hatten :-)
Allein der Artikel in der Wiki hat mir schon graue Haare gebracht.
Echt? Dann nimm dies:
Sei Epsilon größer 0 so klein gewählt, dass Epsilon/2 schon negativ ist.
Ha! ;-)
Cheatah
Hi Cheatah!
Sei Epsilon größer 0 so klein gewählt, dass Epsilon/2 schon negativ ist.
Ja nee, is klar.
MfG H☼psel
你好 flashnfantasy,
Lemma haben die Eigenschaft, daß man annimmt, das sie stimmen, obwohl
es nicht bewiesen werden konnte.
Hm. Also ich kenne mindestens ein Lemma, das man beweisen kann: das
„Sandwich“-Lemma ;) Unser Ana-Prof hat uns den Beweis „vorgelegt“ („so
sieht der aus, damit ihr das mal gesehen habt“) ;)
再见,
克里斯蒂安
你好 Cheatah,
Ich bin der Überzeugung, daß wenn man den Induktionsschritt kennt, dann
findet man eine ebensogute nicht-rekursive Lösung.Ich finde, vollständige Induktion ist eine der leichtesten
Beweismethoden.
Ja… ich muss mich gerade mit anderen Beweismethoden herumschlagen, für
Analysis1, das ist manchmal wirklich zum Haare raufen. Dagegen fand ich die
Induktionsbeweise recht einfach. Beispiel von heute (wo ich wirklich dran
herumgerätselt habe):
Beweise: Ist latex_{n\in\mathbb{N}} \subset \mathbb{R}[/latex] eine Folge mit [latex]a_n > 0 \forall n \in \mathbb{N}[/latex], so ist latex_{n\in\mathbb{N}}[/latex] genau dann eine Nullfolge, wenn [latex]\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{a_n} = +\infty[/latex] gilt.
Beweis:
[elatex]
\begin{tabular}{l|r}
$\forall \epsilon > 0 \exists n_{\epsilon}\in\mathbb{N}: |a_n| < \epsilon\forall n \ge n_{\epsilon}$&$\forall k > 0 \exists n_k \in \mathbb{N}: \frac{1}{a_n} > k \forall n \ge n_k$
\end{tabular}
[/elatex]
Sei [latex]k > 0[/latex]. Setze [latex]\epsilon := \frac{1}{k} > 0[/latex]. Wegen [latex]a_n \rightarrow_{n \rightarrow \infty} 0[/latex] finden wir immer ein [latex]n_{\epsilon} \in \mathbb{N}[/latex] mit [latex]|a_n| = a_n < \epsilon \forall n \ge n_{\epsilon}[/latex]. Daraus folgt: [latex]a_n < \frac{1}{k} \Leftrightarrow \frac{1}{a_n} > k \forall n \ge n_k[/latex].
Wir haben erreicht, dass wir ein [latex]n_{\epsilon(k)}\in\mathbb{N}[/latex] mit [latex]\frac{1}{a_n} > k \forall n \ge n_{\epsilon}[/latex] von [latex]k > 0[/latex] ausgehend finden.
Setze [latex]n_k := n_{\epsilon} \Rightarrow[/latex]: das gleiche gilt für die rechte Seite.
Für die andere Richtung läuft der Beweis analog ab. Das erspare ich mir jetzt aber hierhin zu schreiben ;) QED.
An dem Beweis habe ich fast eine Stunde gesessen… dafür sollte er (bis auf Fipptehler) richtig sein, die Musterlösung sieht ähnlich aus ;)
再见,
克里斯蒂安
Hi Cheatah!
Hi,
Zeige, daß die Zahl d(n) der Diagonalen in einem ebenen, konvexen n-Eck durch die Formel
d(n) = n/2 * (n-3) für alle n >= 4
berechnet werden kann!Du kannst für n die Werte 0, 1, 2 und 3 schon mal ausschließen ;-) Zähle also die Zahl der Diagonalen für n=4. Überlege Dir anschließend, was passiert, wenn Du dem n-Eck eine Ecke hinzufügst. Wie viele Diagonale kommen hinzu?
Das ist einfach und auch nicht mein Problem: d(n) + (n - 1) = d(n+1)
Mein Problem ist, dass ich mich nicht traue, diese Annahme als wahr hinzunehmen. Ich muss sie doch auch noch beweisen, oder?
MfG H☼psel
Mein Problem ist, dass ich mich nicht traue, diese Annahme als wahr hinzunehmen. Ich muss sie doch auch noch beweisen, oder?
Hopsel,
Wie Cheatah sagte: „Überlege Dir anschließend, was passiert, wenn Du dem n-Eck eine Ecke hinzufügst. Wie viele Diagonale kommen hinzu?“
Eine Skizze ist dabei hilfreich.
Zu wievielen Punkten des n-Ecks aus der Induktionsbehauptung kannst du von dem beim (n+1)-Eck hinzukommenden Eckpunkt Verbindungen zeichnen? Wie viele davon sind Diagonalen des (n+1)-Ecks? Sind das schon alle hinzukommenden Diagonalen?
Live long and prosper,
Gunnar
Hallo,
Das ist einfach und auch nicht mein Problem: d(n) + (n - 1) = d(n+1)
Mein Problem ist, dass ich mich nicht traue, diese Annahme als wahr hinzunehmen. Ich muss sie doch auch noch beweisen, oder?
Überlege, was geschehen muss, damit aus einem n-Eck ein (n+1)-Eck wird. Tipp: eine Seite muss sich verändern. Dabei spielt es keine Rolle, ob die resultierende Figur unförmig aussieht ;-)). Wieviele der n Ecken sind an dieser Veränderung direkt beteiligt? Was passiert mit (wird aus) der ehemaligen Seite? Wieviele der n Eckpunkte, außer den direkt beteiligten, verbleiben für neue diagonale Verbindungen zum neuen Eckpunkt?
viele Grüße
Axel
Hi Axel!
Überlege, was geschehen muss, damit aus einem n-Eck ein (n+1)-Eck wird. Tipp: eine Seite muss sich verändern. Dabei spielt es keine Rolle, ob die resultierende Figur unförmig aussieht ;-)). Wieviele der n Ecken sind an dieser Veränderung direkt beteiligt? Was passiert mit (wird aus) der ehemaligen Seite? Wieviele der n Eckpunkte, außer den direkt beteiligten, verbleiben für neue diagonale Verbindungen zum neuen Eckpunkt?
Pippifax. :)
Mein einziges Problem scheint darin zu bestehen, eine wahre Aussage auch als solche zu sehen und vor allem zu nutzen. Die mathematischen Grundlagen und Überlegungen sind nicht weiter schwer.
MfG H☼psel
Du kannst für n die Werte 0, 1, 2 und 3 schon mal ausschließen ;-)
Was an der blöd gestellten Aufgabe liegt. Die Formel gilt auch schon für das Dreieck.
Live long and prosper,
Gunnar
Hi Hopsel,
ich hab die Aufgabe von Prof. Dr. Vogler schon gelöst. Du hast doch wie ich sicher bei ihm *G*.
Behauptung: d(n) = (n^2-3*n)/2
Ind.-anfang: d(4) = (4^2-3*4)/2 = (16-12)/2 = 2 w.A.
Ind.-schritt:
d(k+1) = ((k+1)^2 - 3*(k+1)) / 2 | (k+1)^2 ausmult.
= (k^2 + 2k + 1 - 3k - 1) / 2 | zusammenfassen
= (k^2 - k) / 2 | -k = -3k + 2k
= (k^2 - 3k + 2k) / 2 | 2k/2 = k
= (k^2 - 3k) / 2 + k | (k^2 - 3k) = d(k)
d(k+1) = d(k) + k
d.h. für die zusätzliche k+1. Ecke kommen nocheinmal k
Diagonalen hinzu. qed (oder?)
LG Benjamin
Hallo,
d(k+1) = ((k+1)^2 - 3*(k+1)) / 2 | (k+1)^2 ausmult.
= (k^2 + 2k + 1 - 3k - 1) / 2
^ähm, wie bitte?
d.h. für die zusätzliche k+1. Ecke kommen nocheinmal k
Also:
Ein 4-Eck (k=4) hat 2 Diagonalen. Nach Deiner Behauptung hätte ein 5-Eck 2+4 = 6 Diagonalen und ein 6-Eck hätte dann 6+5 = 11 Diagonalen?
viele Grüße
Axel
Hi Axel!
Nach Deiner Behauptung hätte ein 5-Eck 2+4 = 6 Diagonalen und ein 6-Eck hätte dann 6+5 = 11 Diagonalen?
Ist ja auch richtig...
MfG H☼psel
Hallo,
Nach Deiner Behauptung hätte ein 5-Eck 2+4 = 6 Diagonalen ...
Ist ja auch richtig...
Ach was?
Nach meiner Skizze hat ein Fünfeck nur 5 Diagonalen. Irgendwas stimmt da nicht. *grübel*
So long,
Martin
Hi Der!
Nach meiner Skizze hat ein Fünfeck nur 5 Diagonalen. Irgendwas stimmt da nicht. *grübel*
Mein Fehler. :)
Natürlich hast du recht. Ich bin ganz verwirrt.
Ich habe seinen Fehler auch schon ausfindig gemacht.
MfG H☼psel
Hi Benjamin!
ich hab die Aufgabe von Prof. Dr. Vogler schon gelöst. Du hast doch wie ich sicher bei ihm *G*.
Zufälle gibt´s. Jetzt steh ich ja da, wie der letzte Dödel.
Behauptung: d(n) = (n^2-3*n)/2
Ind.-anfang: d(4) = (4^2-3*4)/2 = (16-12)/2 = 2 w.A.
Ind.-schritt:
d(k+1) = ((k+1)^2 - 3*(k+1)) / 2 | (k+1)^2 ausmult.
= (k^2 + 2k + 1 - 3k - 1) / 2 | zusammenfassen
= (k^2 - k) / 2 | -k = -3k + 2k
= (k^2 - 3k + 2k) / 2 | 2k/2 = k
= (k^2 - 3k) / 2 + k | (k^2 - 3k) = d(k)
d(k+1) = d(k) + k
d.h. für die zusätzliche k+1. Ecke kommen nocheinmal k
Diagonalen hinzu. qed (oder?)
Die Lösungen sind nicht das Problem. Ich möchte den Rost abklopfen und verstehen.
MfG H☼psel
Hi Benjamin!
Ind.-schritt:
d(k+1) = ((k+1)^2 - 3*(k+1)) / 2 | (k+1)^2 ausmult.
= (k^2 + 2k + 1 - 3k - 1) / 2 | zusammenfassen
= (k^2 + 2k + 1 - 3k - 3) / 2 | Ich will dich ja nicht dämpfen
aber der Fehler ist offentsichtlich :)
= (k^2 - k) / 2 | -k = -3k + 2k
= (k^2 - 3k + 2k) / 2 | 2k/2 = k
= (k^2 - 3k) / 2 + k | (k^2 - 3k) = d(k)
d(k+1) = d(k) + k
MfG H☼psel
Hi Benjamin!
Entschuldige bitte, dass ich nochmal poste. Ich habe deine Aufgabe mal "richtig" gelöst.
Behauptung: d(n) = (n^2-3*n)/2
Ind.-anfang: d(4) = (4^2-3*4)/2 = (16-12)/2 = 2 w.A.
Ind.-schritt:
d(k+1) = ((k+1)^2 - 3*(k+1)) / 2 | (k+1)^2 ausmult.
= (k^2 + 2k + 1 - 3k - 1) / 2 | zusammenfassen
= (k^2 + 2k + 1 - 3k - 3) / 2 | zusammenfassen
= (k^2 - k) / 2 | -k = -3k + 2k
= (k^2 - 3k) / 2 + k - 1
Folgende Zeilen sind also unnötig.
= (k^2 - 3k + 2k) / 2 | 2k/2 = k
= (k^2 - 3k) / 2 + k | (k^2 - 3k) = d(k)
d(k+1) = d(k) + k
Denn:
d(k+1) = d(k) + k - 1
d.h. für die zusätzliche k+1. Ecke kommen nocheinmal k
Diagonalen hinzu. qed (oder?)
Nein, k-1 Ecken kommen dazu.
MfG H☼psel
Habe garnicht soweit gedacht, daß es hier um den grundsätzlichen Gedanken der Induktion geht.
Eigentlich arbeite ich bei der vollständigen Induktion immer ein Schema ab, ohne mir darüber Gedanken zu machen.
Vollständige Induktion ist als Beweis wirklich nicht sehr intuitiv,...
Sorry,
Flash
Hi,
Habe garnicht soweit gedacht, daß es hier um den grundsätzlichen Gedanken der Induktion geht.
in diesem Forum geht es eigentlich _immer_ um den grundsätzlichen Gedanken. Daher auch das "SELF" im Namen.
Vollständige Induktion ist als Beweis wirklich nicht sehr intuitiv,...
Och, wenn man sich daran gewöhnt hat ... :-)
Cheatah
Hallo Hopsel,
ich weiß nicht, ob es etwas hilft, aber ich probiere mich nun auch mal, dir den Beweis zu erklären. ;-)
Der erste Schritt ist stets der "Induktionsanfang": Man beweist, dass die Gleichung für [latex]n = n_{0}[/latex] richtig ist. In deinem Fall ist [latex]n_{0} = 1[/latex], also:
1. Induktionsbeginn: [latex]9 ~|~ (1^3 + 2^3 + 3^3)[/latex]
Dabei steht der senkrechte Strich ("|") für die Teilbarkeit (gesprochen: "9 ist Teiler von 18").
Wenn der Induktionsanfang für eine bestimmte Zahl richtig ist, so kann man auch weitere Zahlen auf diese numerische Art und Weise überprüfen (z.B. für 2, 3, 4 usw.).
Da wir jetzt aber wissen wollen, ob die Gleichung allgemein gilt, lassen wir n als Variable stehen, und nehmen an, dass die Gleichung gültig sei. Also:
2. Induktionsannahme: [latex]9 ~|~ n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3[/latex]
Nun ist zu beweisen, dass die Gleichung auch für (n + 1) erfüllt ist (einfach eingesetzt):
3. Induktionsschritt: [latex]9 ~|~ (n + 1)^3 + (n + 2)^3 + (n + 3)^3[/latex]
Soweit ist das auch für die meisten kein Problem. Der letzte Schritt dieser Beweismethode ist oft der kniffligste: Unter Vorraussetzung, dass die Annahme (2) gilt, wird die Gleichung (3) nun bewiesen:
[latex](n + 1)^3 + (n + 2)^3 + (n + 3)^3 ~=~ (n + 1)^3 + (n + 2)^3 ~+~ (n^3 + 9 n^2 + 27 n + 9) ~=~ [n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3] ~+~ 9 (n^2 + 9 n + 1)[/latex]
Damit du genau siehst, welche Umformungen ich gemacht habe:
1. (dies ist Gleichung (3))
2: den Term [latex](n + 3)^3[/latex] mit Hilfe des Pascalschen Dreieck ausmultipliziert, in weiser Voraussicht, dass die ersten Terme [latex](n + 1)^3 + (n + 2)^3[/latex] sich bereits in unserer Induktionsannahme (2) finden
3: Die [latex]n^3[/latex] habe ich nun zu den beiden anderen Termen hinzugefügt - man beachte, dass der Ausdruck in der eckigen Klammer exakt die Induktionsannahme (2) ist!
So, und nun gut aufpassen: Wir setzen nun die Annahme (2) in diese Gleichung (3, abgewandelt) ein, und so haben wir mit der eckigen Klammer einen Ausdruck, der durch 9 teilbar ist (Annahme!). Da der Ausdruck der runden Klammer ebenfalls durch 9 teilbar ist (ich habe die 9 ausgeklammert, damit du es besser siehst), ist der Gesamtausdruck ebenfalls durch 9 teilbar.
Somit wäre (3) bewiesen.
Mit der Formel ist das vielleicht einfacher zu sehen:
[latex][n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3] ~+~ 9 (n^2 + 9 n + 1) = 9 * o + 9 * k = 9(o + k)[/latex]
Dabei habe ich einfach zwei ganze Zahlen (o, k) gewählt, um es besser zu veranschaulichen. Spätestens jetzt sollte jeder merken, dass die Gleichung durch 9 teilbar ist.
Aus diesem Beweis folgt nun, dass wir mit dem Induktionsanfang (1) die Gleichung für eine bestimmte Zahl [latex]n_{0}[/latex] beweisen können, und da wir (3) nun bewiesen haben, auch für [latex]n + 1[/latex], also rekursiv für alle weiteren Zahlen. Schon intelligent, das. Irgendwie.
Schau mal, was du davon genau verstehst und was nicht, und frag dann einfach noch mal nach. Eines kann ich dir aber mit Sicherheit sagen: Den Beweis der vollständigen Induktion versteht man nur, indem man viel, viel übt.
Grüße
Marc Reichelt || http://www.marcreichelt.de/
Hallo nochmals,
hat Hopsel meinen Post denn gar nicht mitbekommen?
Oder hat er es bereits verstanden?
Da macht man sich mal die Mühe, arbeitet den Beweis komplett durch und fügt dicke Hinweise an den kritischen Punkten hinzu, und dann bekommt man gar keine Rückmeldung...
Grüße
Marc Reichelt || http://www.marcreichelt.de/
Hi Marc!
hat Hopsel meinen Post denn gar nicht mitbekommen?
Welchen? Ein Link ist immer hilfreich. ;-)
Oder hat er es bereits verstanden?
Ich denke, ich habe mich durch genügend Übung durchgebissen und kann auch andere (nie gesehene) Beweise führen.
Da macht man sich mal die Mühe, arbeitet den Beweis komplett durch und fügt dicke Hinweise an den kritischen Punkten hinzu
Danke schön. Mein Problem bestand aber nicht in dem Verständnis der mathematischen Berechnungen und Umformungen. (siehe https://forum.selfhtml.org/?t=117031&m=749346)
Für mich wirkt eine vollständige Induktion meist wie ein Zirkelschluss
und dann bekommt man gar keine Rückmeldung...
Die doch gar nicht nötig ist. Ich lese alle Antworten durch. :)
MfG H☼psel
Tach,
Für mich wirkt eine vollständige Induktion meist wie ein Zirkelschluss
das ist ein häufiges Problem, dass die Leute mit der Induktion haben. Sie glauben erst die Induktionsannahme beweisen zu müssen; das ist jedoch unnötig, sie ist schließlich nur eine Annahme und muß nicht bewiesen werden. Aber keine Sorge irgendwann macht es "Klick" und das Prinzip ist begriffen.
mfg
Woodfighter
Hallo Hopsel,
Für mich wirkt eine vollständige Induktion meist wie ein Zirkelschluss
dann hast Du die vollständige Induktion leider noch nicht verstanden :-(
Im Gegensatz zu einem Zirkelschluss hast Du einen Anfang, der deswegen auch "Induktionsanfang" heisst. Für diesen weist Du die Gültigkeit nach, ohne Dich auf irgendwelche Annahmen zu stützen.
Damit ist die Annahme: "Vollständige Induktion ist ein Zirkelschluss" bereits widerlegt [1] :-)
Kannst Du den Induktionsschritt beweisen folgt aus der Gültigkeit für den Startwert (die Du ja bereits überprüft hast) die Gültigkeit für alle anderen.
Ich kann keinerlei Bezug zum Zirkelschluss finden. Vielleicht kannst Du mir ja erklären, warum Du dies so siehst.
Freundliche Grüße
Vinzenz
[1] Ich weiß, dass ich Deinen Satz nicht wörtlich genommen habe.
Tach,
Ich kann keinerlei Bezug zum Zirkelschluss finden. Vielleicht kannst Du mir ja erklären, warum Du dies so siehst.
die Bezüge sind doch sichtbar:
1. Du möchtest eine Aussage für alle n beweisen.
2. Du nimmst in der Induktion an, es stimmt für n.
3. Du beweist damit dass es für n+1 gilt und folgerst, daraus eine Aussage für alle n.
Ähnlich einem Zirkelschluß hat man also die Aussage bewiesen, indem man die Aussage als Ausgangspunkt nimmt. Der Unterschied liegt ja darin, dass die ursprüngliche Aussage zwar ähnlich aussieht, aber doch etwas anderes aussagt (für alle n, statt für n). Genau das ist für die meisten der große Knackpunkt beim Verständnis der Induktion, man nutzt halt eine unbewiesene, allgemein aussehende Aussage und nutzt sie im Beweis.
mfg
Woodfighter
Hiho,
Für mich wirkt eine vollständige Induktion meist wie ein Zirkelschluss
das Problem hatte ich früher auch. (Zur Abwechslung mal) "unmathematisch", also eher anschaulich beispielhaft erklärt:
Die Induktion ist eine Art Dominoeffekt: Zunächst beweist Du, dass es für "das kleinste n" (sagen wir mal der Einfachheit halber für 0) gilt. Damit stößt Du den ersten Stein um.
Dann beweist Du, dass wenn es für n gilt, es auch für n+1 gilt. Nun passiert Folgendes:
Es gilt für n=0, also gilt es auch für n+1=0+1=1.
Es gilt also für n=1, also gilt es auch für n+1=1+1=2.
Es gilt also für n=2, also gilt es auch für n+1=2+1=3.
usw.
Alle Steine fallen der Reihe nach um.
Nix Zirkelschluss :)
schöne Grüße,
stefan
Hi Hopsel,
Ich soll durch vollständige Induktion beweisen, dass
die Summe der Kuben dreier aufeinanderfolgender Zahlen durch 9 teilbar ist.
*LOL* Das soll ich auch beweisen. Frage: Übung "Algorithmen und Datenstrukturen" von Prof. Dr. H. Vogler und Dipl.-Math. R. Vater morgen, am Di., 5.DS. an der TU-Dresden??? Ein SelfHTMLer als Kommilitone? Also sehen wir uns morgen...
*g* LG Benjamin
Hi Benjamin!
*LOL* Das soll ich auch beweisen. Frage: Übung "Algorithmen und Datenstrukturen" von Prof. Dr. H. Vogler und Dipl.-Math. R. Vater morgen, am Di., 5.DS. an der TU-Dresden??? Ein SelfHTMLer als Kommilitone? Also sehen wir uns morgen...
Wenn du nichts dagegen hast, können wir auch weiteren Kontakt aufnehmen.
MfG H☼psel
Hallo Hopsel,
Wenn du nichts dagegen hast, können wir auch weiteren Kontakt aufnehmen.
Gerne. Dann schreib mir am besten eine eMail oder oder nimm per ICQ Kontakt mit mir auf: 341472642.
MfG Benjamin.
